[补档]高斯消元做题记录/或曰 学习笔记

早就退役啦！

乍一看挺水的。

P2455 [SDOI2006]线性方程组

板子题。

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P4035 [JSOI2008]球形空间产生器

给定一个 $n$ 维的球体上 $n+1$ 个点的坐标 $a_{i,j}$。求球心坐标 $\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)$。

球心到所有点距离相等，那么只需要 $\forall{i\in\left[1,n+1\right]}:\sum_{j=1}^n\left(a_{i,j}-x_j\right)^2=C$，$C$ 为常数即可。

但是，这是 $n+1$ 个 $n$ 元二次方程啊。怎么办？我们相邻做差，就成了 $n$ 个 $n$ 元一次方程。

具体地 $\sum_{j=1}^n\left(\left(a_{i,j}-x_j\right)^2-\left(a_{i+1,j}-x_j\right)^2\right)=\sum_{j=1}^n{a_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2-2\left(a_{i,j}-a_{i+1,j}\right)x_j}=0$，即 $\sum_{j=1}^n2\left(a_{i,j}-a_{i+1,j}\right)x_j=\sum_{j=1}^na_{i,j}^2-a_{i+1,j}^2$。

为了更清晰，写出它的增广矩阵：

$$\begin{bmatrix}2\left(a_{1,1}-a_{2,1}\right)&2\left(a_{1,2}-a_{2,2}\right)&\cdots&2\left(a_{1,n}-a_{2,n}\right)&\sum\limits_{j=0}^n\left(a_{1,j}^2-a_{2,j}^2\right)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\2\left(a_{n,1}-a_{n+1,2}\right)&2\left(a_{n,2}-a_{n+1,2}\right)&\cdots&2\left(a_{n,n}-a_{n+1,n}\right)&\sum\limits_{j=0}^n\left(a_{n,j}^2-a_{n+1,j}^2\right)\end{bmatrix}$$

Gauss 消元就完事了。

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P2447 [SDOI2010] 外星千足虫

$\bmod{2}/\operatorname{XOR}$ 意义下的高斯消元。

用 bitset<> 搞，复杂度是 $\mathcal{O}\left(\dfrac{n^2m}{w}\right)$。

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