P4180 严格次小生成树[BJWC2010]
当时在暑假早就讲了这道题了，只不过我现在才做了这道题。
题解：
我们要求次小生成树的话，考虑先把最小生成树求出来，因为如果我们用求最小生成树的话，边早已经从大到小排序好了，所以次小生成树的就是替换最小生成树上的一条边所得。
那么考虑如何来替换那一条边，要保证严格次小，那么我们需要替换掉最小生成树上两点间最大的边权，这样暴力枚举删边肯定是不行的，所以我们需要维护在最小生成树上的边。考虑用树链剖分来维护（其实就是打不来倍增）
然而维护的时候我们不仅要维护边权的最大值，还不能忘了再维护一个边权的次大值，因为最大值的边权有可能与我们枚举的非树边相等，不满足严格次小，所以还要维护次大值。
那么这道题的解法就很容易了，枚举非树边，然后用非树边替换求出次小生成树即可。时间复杂度nlogn+kruskal复杂度。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e6+7; const long long inf=1e15; struct node{ int x,y,val,flag; }tree[maxn*4]; bool cmp(node a,node b){ return a.val<b.val; } struct dd{ int nxt,to,val; }edge[maxn*3]; struct sb{ int l,r; long long mx1,mx2;//维护最大值与次大值 }seg[maxn*4]; int n,m,x,y,v; int fa[maxn]; int get(int x){ if(x==fa[x]) return x; else return fa[x]=get(fa[x]); } int head[maxn],cnt; void add(int x,int y,int v){ edge[++cnt].nxt=head[x]; edge[cnt].to=y; edge[cnt].val=v; head[x]=cnt; } long long ans; void kruskal(){ ans=0; int tot=0; sort(tree+1,tree+1+m,cmp); for(int i=1;i<=m;i++){ int f1=get(tree[i].x); int f2=get(tree[i].y); if(f1!=f2){ fa[f1]=f2; ans+=tree[i].val; tree[i].flag=1; tot++; if(tot==n-1) break; } } for(int i=1;i<=m;i++){ if(tree[i].flag){ add(tree[i].x,tree[i].y,tree[i].val); add(tree[i].y,tree[i].x,tree[i].val); } } } int w[maxn],dep[maxn],siz[maxn],faa[maxn],son[maxn]; void dfs1(int x,int f){ dep[x]=dep[f]+1; faa[x]=f; siz[x]=1; int maxson=-1; for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){ int go=edge[i].to; if(go==faa[x]) continue; w[go]=edge[i].val; dfs1(go,x); siz[x]+=siz[go]; if(siz[go]>maxson){ maxson=siz[go]; son[x]=go; } } } int top[maxn],id[maxn],va[maxn],in; void dfs2(int x,int topf){ top[x]=topf; id[x]=++in; va[id[x]]=w[x]; if(!son[x]) return; dfs2(son[x],topf); for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){ int go=edge[i].to; if(go==faa[x]||go==son[x]) continue; dfs2(go,go); } } void pushup(int now){ if(seg[now<<1].mx1>seg[now<<1|1].mx1){ seg[now].mx1=seg[now<<1].mx1; seg[now].mx2=max(seg[now<<1].mx2,seg[now<<1|1].mx1); } if(seg[now<<1].mx1<seg[now<<1|1].mx1){ seg[now].mx1=seg[now<<1|1].mx1; seg[now].mx2=max(seg[now<<1].mx1,seg[now<<1|1].mx2); } if(seg[now<<1].mx1==seg[now<<1|1].mx1){ seg[now].mx1=seg[now<<1].mx1; seg[now].mx2=max(seg[now<<1].mx2,seg[now<<1|1].mx2); } } void build(int now,int l,int r){ seg[now].l=l,seg[now].r=r; if(l==r){ seg[now].mx1=va[l]; return; } int mid=(l+r)>>1; build(now<<1,l,mid); build(now<<1|1,mid+1,r); pushup(now); } pair<int,int> getmax(pair<int,int> x,pair<int,int> y){ int ans1,ans2; if(x.first>y.first){ ans1=x.first; ans2=max(x.second,y.first); } if(x.first<y.first){ ans1=y.first; ans2=max(x.first,y.second); } if(x.first==y.first){ ans1=x.first; ans2=max(x.second,y.second); } return make_pair(ans1,ans2); } pair<int,int> query(int now,int l,int r){ if(seg[now].l>=l&&seg[now].r<=r) return make_pair(seg[now].mx1,seg[now].mx2); int mid=(seg[now].l+seg[now].r)>>1; pair<int,int> ans; if(l<=mid) ans=getmax(ans,query(now<<1,l,r)); if(r>mid) ans=getmax(ans,query(now<<1|1,l,r)); return ans; } pair<int,int> link(int x,int y){ pair<int,int> res; while(top[x]!=top[y]){ if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); res=getmax(res,query(1,id[top[x]],id[x])); x=faa[top[x]]; } if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); res=getmax(res,query(1,id[y]+1,id[x])); return res; } void solve(){ pair<int,int> ass; long long save; long long final=inf; for(int i=1;i<=m;i++){ if(!tree[i].flag){ ass=link(tree[i].x,tree[i].y); if(tree[i].val>ass.first){ save=ans; final=min(final,save-ass.first+tree[i].val); } else if(tree[i].val>ass.second){ save=ans; final=min(final,save-ass.second+tree[i].val); } } } printf("%lld\n",final); } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&tree[i].x,&tree[i].y,&tree[i].val); kruskal(); dfs1(1,0);dfs2(1,1);build(1,1,n); solve(); return 0; }
