2019.5.25 Noip模拟测试2 T2题解

 

最开始我是暴力打表的，但数据范围还是太大了，直接炸空间。

（1）20%数据：直接枚举。时间复杂度：O(nm)。

（2）另40%数据：

将式子转化一下：x≡17（mod a_i）=> x mod a_i =17 mod a_i => (x-17) mod a_i=0（注意已保证a_i >17，所以17 mod a_i =17），于是问题变为求0到m-17的整数中至少能被{a_n}中一个数整除的有多少个。

1到n的正整数中，能被x整除的数的个数N_x=n/x（“/”表示整除，下同），同时被x、y整除的数个数N_xandy=n/LCM(x,y)（LCM为最小公倍数）。根据容斥原理，|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|（|A|表示集合A元素个数），可得1到n的正整数中，能被x或y整除的数个数N_xory=N_x+N_y-N_xandy=n/x + n/y - n/LCM(x,y)。对于三个数x、y、z的情况，只要类比一下，画画图就可以知道，（可能你早就知道）N_xoryorz=N_x+N_y+N_z-N_xandy-N_xandz-N_yandz+N_xandyandz =n/x + n/y + n/z - n/LCM(x,y) - n/LCM(x,z) - n/LCM(y,z) + n/LCM(x,y,z)。

时间复杂度：O(logm)（辗转相除）

（3）100%数据：容斥原理是可以扩展到n个集合的——（懒得打了）

这时我们需要用个dfs枚举每个a_i选与不选，若选出k个数，且k为奇数，则ans加上m/LCM(选出的数)，若为偶数ans减去m/LCM(选出的数)。当然，还要加上优化，包括可行性剪枝（选出的数的LCM要小于等于m。由于a_i >17，该剪枝十分有效）、优化搜索顺序（先搜大数）。时间复杂度：O(2ⁿlogm)（实际小得多）。

其实想通了还是挺简单的，数学还应加强啊

这道题光暴力就有60分，但我却一分未得，值得反思。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int a[maxn];
int n,m;
long long ans;
long long GCD(long long x,long long y){if(y==0) return x;else return GCD(y,x%y);}
long long LCM(long long A,long long B){return A*B/GCD(A,B);}
bool cmp(const int &a,const int &b){return a>b;}
void dfs(long long i,long long k,long long s)
{
    if(s>m||i==n+1) return;
    long long ss=LCM(a[i],s);
    if(k&1) ans+=m/ss;//如上图公式，选奇数个就加，反之则减
    else ans-=m/ss;
    dfs(i+1,k+1,ss);
    dfs(i+1,k,s);
}
int main()
{
    //freopen("c17.in","r",stdin);
    //freopen("c17.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);    
    m-=17;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    if(m<0) 
    {
        ans=0;
        printf("0");
        return 0;
    }
    else
    {
        dfs(1,1,1);
    }
    printf("%d",ans+1);
    return 0;
}