同余

学习

中国剩余定理

$ans=\sum_{i=1}^nM_i*r_i*t_i modM$
其中$M=\prod_1^nmod_i,M_i=\frac{M}{mod_i},t_i为M_i模M下的逆元$

void solve() 
{
	cin>>n;
	int M=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>mod[i]>>r[i],M=M*mod[i];
	int ans=0;
	int x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++) 
	{
		int Mi=M/mod[i];
		ex_gcd(Mi,mod[i],x,y);
		ans=(ans+(Mi*x%M*r[i]%M)+M)%M;
	}
	cout<<ans%M<<endl;
}

扩展中国剩余定理

cin>>n;
	 for(int i=1;i<=n;i++) cin>>mod[i]>>r[i];
	 int x,y;
	 for(int i=1;i<n;i++) 
	 {
	 	int a=mod[i],b=mod[i+1],c=r[i+1]-r[i],g=gcd(a,b);
	 	if(c%g) {cout<<-1<<endl;return;}
	 	a/=g,b/=g,c/=g;
	 	ex_gcd(a,b,x,y);
	 	x=(x*c%b+b)%b;//非负最小整数解
	 	mod[i+1]=mod[i]/gcd(mod[i],mod[i+1])*mod[i+1];//mod[i+1]->lcm(mod[i],mod[i+1])
	 	r[i+1]=(mod[i]*x%mod[i+1]+r[i])%mod[i+1];//新的余数 r[i+1]-r[i]= mod[i]*x+mod[i+1]*y 
	 }
	 //可能在某些题连longlong都会爆，这时候就要用龟速乘
	 cout<<r[n]<<endl;

扩展欧几里得

对于形如$ax+by=c$，可以用扩欧求出它的一个特解$(x_0,y_0)$,
判断有解：$gcd(a,b)|c$
通解：$(x_0+kb,y_0-ka)$
当$x$最小时，$y$取最大，反之亦然。
最小非负整数解:$x_{min}=(x\%b+b)\%b$，如果要正整数解，则当$x_{min}=0$将它改为$b$。
$y$同理。
模板

代码

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
	if(!b) {x=1,y=0;return a;}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}

void solve() 
{
	cin>>a>>b>>c;
	//求解ax+by=c，问题
	int x,y;
	int d=exgcd(a,b,x,y);
	if(c%d) {cout<<-1<<endl;}//无解
	else 
	{
		a/=d,b/=d,c/=d;//化简公式
		x*=c,y*=c;//因为之前求出的解a*x0+b*y0 = d ,要将解变成c/d倍
		x=(x%b+b)%b;//求x的最小非负整数解
		y=(c-a*c)/b;
	}
}