概率dp AtCoder Beginner Contest 243 F
AtCoder Beginner Contest 243 F
题意
n种彩票，每种彩票i中奖概率为\(p_i\) ，求抽k次后恰好m种彩票中奖的概率（简化的概率，题目中的概率还要用个逆元）
思路
超几何分布，设抽k次后每种彩票i中奖个数为\(c_i\) ，则概率为
\(P=C_k^{c_1}*p_1^{c_1}*C_{k-c_1}^{c_2}*p_2^{c_2}*C_{k-c_1-c_2}^{c_3}*p_3^{c_3}...*C_{k-\sum_{i=1}^{n-1}}^{c_n}*p_n^{c_n}\),化简之后就变成\(P=k!*\frac{\prod_{i=1}^n p_i^{c_i}}{\prod_{i=1}^n c_i!}\)
这样就清晰很多了，设状态\(f[i][j][k]\)为当前第i种彩票，已经由j种彩票被抽中，抽了k次的概率；
那么有 \(f[i][j][k]=\sum f[i-1][j-(c!=0)][k-c]*\frac{p_i^c}{c!}\)，即当前第i种彩票买了c张，从之前的状态转移过来
代码
const int N=55,inf=0x3f3f3f3f,mod= 998244353;
int n,m,K;
int f[N][N][N],fac[N],p[N],inv_f[N];
int q_pow(int a,int b)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b/=2;
}
return res%mod;
}
void init(int n)
{
fac[0]=inv_f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv_f[n]=q_pow(fac[n],mod-2)%mod;
for(int i=n-1;i>=1;i--)
{
inv_f[i]=inv_f[i+1]*(i+1)%mod;
}
}
void solve()
{
cin>>n>>m>>K;
init(K+1);
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i],sum+=p[i];//分母
int inv=q_pow(sum,mod-2)%mod;
f[0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=p[i]*inv%mod;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=i;j++)
{
for(int k=0;k<=K;k++)
{
for(int c=0;c+k<=K;c++)
{
f[i+1][j+(c!=0)][k+c]=(f[i+1][j+(c!=0)][k+c]+f[i][j][k]*q_pow(p[i+1],c)%mod*inv_f[c]%mod)%mod;
}
}
}
}
int ans=f[n][m][K]*fac[K]%mod;
cout<<ans<<endl;
}
