USACO 2018 December Contest Platinum T1: Balance Beam

题目大意

Bessie为了存钱给她的牛棚新建一间隔间，开始在当地的马戏团里表演，通过在平衡木上小心地来回走动来展示她卓越的平衡能力。

Bessie能够通过表演赚到的钱取决于她最终成功跳下平衡木的位置。平衡木上从左向右的位置记为 0,1,…,N+1 。（2≤N≤1e5) 如果Bessie到达了位置 0 或是 N+1 ，她就会从平衡木的一端掉下去，遗憾地得不到报酬。

如果Bessie处在一个给定的位置 k ，她可以进行下面两项中的任意一项：

1. 投掷一枚硬币。如果背面朝上，她前往位置 k−1 ，如果正面朝上，她前往位置 k+1 （也就是说，每种可能性 1/2 的概率）。

2. 跳下平衡木，获得 f(k) 的报酬（0≤f(k)≤1e9 ）。

Bessie意识到她并不能保证结果能够得到某一特定数量的报酬，这是由于她的移动是由随机的掷硬币结果控制。然而，基于她的起始位置，她想要求出当她进行一系列最优的决定之后，她能够得到的期望报酬（“最优”指的是这些决定能够带来最高可能的期望报酬）。

例如，如果她的策略能够使她以 1/2 的概率获得 10 的报酬，1/4 的概率获得 8 的报酬，1/4 的概率获得 0 的报酬，那么她的期望报酬为加权平均值 10 * (1/2)+8 * (1/4)+0 * (1/4)=7 。

题目分析

对于给定的一个点我们要考虑的就是 跳下所得收益 和 移动后的收益期望，其中 跳下所得收益 已知，考虑如何求出 移动后的收益期望。

观察

显然，如果我们已知 某些节点x(令x∈A) 移动的期望收益比 它们的 停止收益低，即如果在 另一些点 进行移动操作，一旦移动到A中的点，最优的策略就是不再移动，称A中点为停止点。

 

如果从 点i 出发进行移动，那么移动的期望收益一定是由 i 前面第一个停止点和后面第一个停止点贡献的。

更具体地，设这两个停止点为 a, b, (a < i < b) 那么该 点i 的移动收益　Ei = va * (b-i) / (b-a) + vb*(i-a) / (b-a)    (va, vb分别为a, b点跳下所得收益)

怎么得来的呢？

考虑设在 i 开始，到 L 停止的概率为 Fi​，由题可得 Fi ​= （Fi-1 + Fi+1）/ 2​​，不难发现这个式子是等差数列的描述，又因为 F0=0, FL=1 可得 Fi​ = i/L​，

同样地，可以得到在 i 开始，到 L 停止的概率为 Gi = （L - i）/ L。

推广，对于上面的三个点 a, i, b  (a < i < b), Ei = va * (b-i) / (b-a) + vb*(i-a) / (b-a)

至此，我们仅需考虑如何找出所有停止点

 

不难发现，若将点A (a, va)，B（b, vb）在平面直角坐标系中画出，Ei 的取值即为 直线x=i 与 线段AB交点。（可用梯形面积证明）

若 vi > Ei， 则显然 点i 为一个停止点。

根据以上过程，明显可以看出 所有停止点构成了一个凸包（一个完整凸包的上半部分，也就像一个上半圆弧）

至此，只要找出所有点 （i, vi）构成的凸包，然后递推从前向后扫一遍，即可得出答案。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5+10;

int n,top;
ll bse=1e5;
struct Node{
    int x;
    ll y;
    friend Node operator -(const Node &a,const Node &b){return (Node){a.x-b.x,a.y-b.y};}
    friend ll operator *(const Node &a,const Node &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
}a,sta[MAXN];

inline void Push_back(Node a){
    while(top&&(a-sta[top])*(sta[top]-sta[top-1])<=0) --top;
    sta[++top]=a;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        a.x=i;
        scanf("%lld",&a.y);
        a.y*=bse;
        Push_back(a);
    }
    Push_back((Node){n+1,0});
    for(int i=1,j=0;i<=n;++i){
        while(j<top&&sta[j].x<i) ++j;
        if(sta[j].x==i)
            printf("%lld\n",sta[j].y);
        else
            printf("%lld\n",((sta[j].x-i)*sta[j-1].y+(i-sta[j-1].x)*sta[j].y)/(sta[j].x-sta[j-1].x));
    }
    return 0;
}