Tricks

• 每次删一个点，多次询问，但是方便加点不方便删点可以考虑分治模拟删点（把当前的另一半区间全加上，然后递归到子区间）。

• 差分约束 \(=\) 转化成 \(\le and \ge\)。

• 左边 \(n\) 个点右边 \(m\) 个点的完全二分图的生成树数量是 \(n^{m-1}m^{n-1}\)。

• （树）一个连通块内点数 \(-\) 边数 \(=1\)，所以总连通块数就是点数 \(-\) 边数。e.g.

• 线段树合并时删去的点可以重新利用（garbage），在此基础上有时候可以优先遍历重儿子：reference。

• 需要多次排序但又不太关注每个数具体大小时（关注相对大小），可以二分一个 \(mid\)，把 \(\ge mid\) 的设置成 \(1\)，\(\le mid\) 的设置成 \(0\)，借助线段树在 \(\operatorname{O}(\log n)\) 时间内完成排序。就是这个题。求中位数也可以这样。

• （2024 一轮省集 D8T2）对于一条路径只贡献一次的问题，可以把点权设置为 \(w\)，边权为 \(-w\)，进行树上差分。

• 不要无脑树剖线段树，有些问题可以树上差分做到线性或者线性对数，避免两只 \(\log\)。总结一下：

  • 单点加路径查：dfs 做根到单点的前缀和即可，查询变为 sum[u]+sum[v]-sum[lca]-sum[fa[lca]]。
  • 路径加单点查：对于路径直接差分，路径两端点加，\(lca\) 和 \(fa[lca]\) 减，查询做子树和。
  • 更进一步的有同时有链和子树的，不展开写了，大概使用到分离变量，开两个数据结构维护。reference1 and reference2

• 算组合数的时候，一定要注意 \(n-m\) 是不是会出现负数！这个问题遇到两次了。

• 有 \(\sum\limits_{i=1}^n x\bmod i\) 或者干脆就是 \(\sum\limits_{i=1}^n\frac{x}{i}\) 想想整除分块啊？？！