DS notes

P4169 [Violet] 天使玩偶/SJY摆棋子

CDQ 分治

如果所有的点都在当前询问点的左下角，就变成求 \(\min\vert X-x_i\vert+\vert Y-y_i\vert\)，拆掉绝对值就是 \(X+Y-\max\{x_i+y_i\}\)，可以用 BIT 求前缀 \(\max\)。然后又要求 \(x_i\le X \wedge y_i\le Y\)，二维偏序，所以想到用 cdq 分治。先对 \(x\) 排序，再用 BIT，每次处理 \(l\sim mid\) 的修改对于 \(mid+1\sim r\) 的查询的贡献，也就是用上面说的前缀 \(\max\)，再分治下去就行。

具体地，每次计算的时候，要分别计算在四个方向上（左上左下右上右下，可以近似看成四个象限）的贡献，可以将每个点的坐标相应地取反，比如说计算左上就把纵坐标取反，右上就都取反。这样都翻转到了左下角，而且相对距离不变，不过把纵坐标取反了的话要记得加上一个偏移量，因为要加到 BIT 里面。

code

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P8990 [北大集训 2021] 小明的树

线段树巧妙应用

下文称点亮为白点，未点亮为黑点。

首先来说，一棵树是美丽的，是一些子树全为白点的情况，换言之也就是所有黑点连通。那么这里有一个套路，或者说技巧，就是：

点数 \(-\) 边数 \(=\) 连通块数量

考虑维护每个时刻黑点连通块数量，记为 \(c_i\)。每个时刻的黑点数量是确定的，为 \(n-i\)，但是两端都为黑点的边数未知。不过初值为 \(n-1\)，所以将 \(c_i\) 初始化为 \(1-i\)。

之后考虑一条边，其两端点为 \(u\)，\(v\)，被点亮的时间分别为 \(b_u\) 和 \(b_v\)（方便起见设前者较小）。特别地，\(b_1=n\)。那么一条边就会对 \(c_{b_u}\sim c_{n-1}\) 做出 \(1\) 的贡献。

于是我们就需要计算所有 \(c_i=1\) 的答案之和。设这个答案为 \(v_i\)，显然 \(v_i=\) 当前时刻两端点颜色不同的边数，注意前提是 \(c_i=1\)。然后还是考虑一条边，发现它能对 \(v_{b_u}\sim v_{b_v}-1\) 做出 \(1\) 的贡献。

显然这个是区间修改，线段树即可。又因为 \(c_i\ge1\)，即 \(1\) 是最小值，那么再维护区间 \(c_i\) 最小值和对应的 \(v_i\) 即可。

差点忘了还有修改操作/lh，我们只需要把一条边原来的贡献删去，添加新的贡献即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}((n+q)\log n)\)。

pushup 的时候记得记录当前节点有几个最小值组成。

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P9058 [Ynoi2004] rpmtdq

点分治，扫描线，BIT

路径问题，考虑点分治。

考虑如何计算跨过当前分治中心的点对。暴力统计所有点对上界是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的，这里面一定有很多无效点对，所以我们只需要找出有效点对即可。

设 \(d_i\) 表示点 \(i\) 到当前 \(rt\) 的距离，\((i,j)\) 是有效点对，而 \((i,k)\)，\((k,j)\) 均无效（\(i<k<j\)），则有 ：

\[d_i+d_j<d_i+d_k\ d_i+d_j<d_k+d_j\Rightarrow d_i<d_k\wedge d_j<d_k \]

所以，若 \((i,j)\) 有效，则 \(\max(d_i,d_j)<\min\limits_{k=i+1}^{j-1}d_k\)。直观点来看，若把 \(d_i\) 看成矩形高度，一个点的匹配点最多只有 \(2\) 个，所以点对数是 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 的，每一层的点对可以用单调栈线性求出，总复杂度就是 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。但是实现的过程中我只想到每层用一次 sort 的实现方法，所以就是 \(\mathcal{O}(n\log^2n)\)。

接着还得计算答案。既然没有强制在线，可以使用扫描线，维护答案序列 \(c\)。对于每一个点对，扫到 \(j\) 时 \(c_i=\min(c_i,d_i+d_j)\)（或者应该可以扫到 \(i\) 时修改 \(j\)）。对于询问，扫到 \(r\) 时，查询 \(\min\limits_{p=l}^rc_p\)。单点 \(\min\) 和后缀 \(\min\)，树状数组即可。（可以从二维平面角度思考，感觉更一般，更普遍性）

扫描线一共有 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 次修改，\(q\) 次询问，复杂度 \(\mathcal{O}(n\log^2n+q\log n)\)。

另外会发现我们分治时并没有考虑在同一棵子树内的情况，因为这并不会让答案变劣。如果一个在同一棵子树内的点对被考虑到了，首先这不是简单路径，所以肯定会被下一层分治排除掉。此外被这个错误路径排掉的点对显然更劣，我们取的都是最小值，所以不影响。