CF1955H The Most Reckless Defense

洛谷|codeforces

给敌人加血可以看成是减少防御塔的攻击力，那么一个塔对敌人能造成的最大伤害即为 \(500\pi r^2-3^r\)，注意到 \(r=12\) 时已经小于 \(0\) 了，所以半径不会很大，又因为每个 \(r\) 只能选一次，所以有效的塔很少，考虑状压 \(dp\)。

具体地，我们设 \(f_{i,S}\) 表示前 \(i\) 个塔中，被选到的塔的半径集合为 \(S\)，所造成的伤害（攻击力）为多少。显然最后答案就等于最大的伤害。有转移方程：

\[f_{i,S}=\max(f_{i-1,S},f_{i-1,S\oplus r}+p_i\times calc(i,r)-3^r) \]

含义很简单，就是当前选或不选。\(calc(i,r)\) 表示第 \(i\) 座塔半径为 \(r\) 时能攻击到几次敌人。预处理 \(calc\) 的复杂度为 \(\mathcal{O}(k\cdot R^3)\)，\(dp\) 的复杂度为 \(\mathcal{O}(k\cdot R\cdot 2^R)\)，总复杂度 \(\mathcal{O}(k\cdot R\cdot (R^2+2^R))\)。

其实也可以最后一起减去 \(\sum 3^r\) 的，两种都对。一开始我不理解为啥两种写法是等价的，想了想，大概是因为每次取 \(\max\) 的两项只差一个 \(r\)，所以要么都减了，要么都没减，不影响相对大小，也就不影响结果。

其实这题还能费用流。每个塔作为左部点，\(12\) 个半径作为右部点，边权或者说费用就是 \(p_i\times calc(i,r)-3^r\)，跑一遍二分图带权最大匹配，也就是最大费用最大流即可。不过我没写，口胡的。

\(dp\) 代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define ROF(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pll pair<long long,long long>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define eb emplace_back
#define ep emplace
using namespace std;
inline int read();
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=50+5;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int INF=0x7f7f7f7f;
const int R=12;
int sqr(int x){return (x)*(x);}
int n,m,k;
char s[N][N];
struct tower{
    int x,y,p;
}a[N*N];
int f[N*N][1<<R];
int calc[N*N][R+1];
int Calc(int x,int y,int r){
    int res=0;
    FOR(i,max(x-r,1),min(n,x+r))
        FOR(j,max(y-r,1),min(m,y+r))
            if(s[i][j]=='#'&&sqr(x-i)+sqr(y-j)<=sqr(r))
            	res++;
    return res;
}
void work(){
    n=read(),m=read(),k=read();
    FOR(i,1,n) scanf("%s",s[i]+1);
    FOR(i,1,k) a[i]={read(),read(),read()};
    FOR(i,1,k){
        int x=a[i].x,y=a[i].y;
        FOR(r,1,R) calc[i][r]=Calc(x,y,r);
    }
    memset(f,-0x3f,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    FOR(i,1,k){
    	for(int S=0;S<(1<<R);++S){
    		f[i][S]=f[i-1][S];
    		FOR(r,1,R)
    			if(S>>(r-1)&1) 
					f[i][S]=max(f[i][S],f[i-1][S^(1<<r-1)]+a[i].p*calc[i][r]-(int)pow(3,r));
		}
	}
	int ans=0;
	FOR(i,1,k)
		FOR(S,0,(1<<R)-1)
			ans=max(ans,f[i][S]);
	printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int T=read();
    while(T--) work();
	return 0;
	//あまりに短い夏だけで何を残していけるのかな？
}
 
 
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*x;
}