P2375 [NOI2014] 动物园

P2375 [NOI2014] 动物园

题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解 KMP 算法。

园长：“对于一个字符串 $S$，它的长度为 $L$。我们可以在 $O(L)$ 的时间内，求出一个名为 $\mathrm{next}$ 的数组。有谁预习了 $\mathrm{next}$ 数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串 $S$ 的前 $i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 $\mathrm{next}[i]$。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例 $S$ 为 $\mathtt{\text{abcababc}}$，则 $\mathrm{next}[5]=2$。因为$S$的前$5$个字符为 $\mathtt{\text{abcab}}$，$\mathtt{\text{ab}}$ 既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 $\mathrm{next}[1]=\mathrm{next}[2]=\mathrm{next}[3]=0$，$\mathrm{next}[4]=\mathrm{next}[6]=1$，$\mathrm{next}[7]=2$，$\mathrm{next}[8]=3$。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 $O(L)$ 的时间内求出 $\mathrm{next}$ 数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP 算法只能求出 $\mathrm{next}$ 数组。我现在希望求出一个更强大 $\mathrm{num}$ 数组一一对于字符串 $S$ 的前 $i$ 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 $\mathrm{num}[i]$。例如 $S$ 为 $\mathtt{\text{aaaaa}}$，则 $\mathrm{num}[4]=2$。这是因为$S$的前 $4$ 个字符为 $\mathtt{\text{aaaa}}$，其中 $\mathtt{\text{a}}$ 和 $\mathtt{\text{aa}}$ 都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 $\mathtt{\text{aaa}}$ 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，$\mathrm{num}[1]=0,\mathrm{num}[2]=\mathrm{num}[3]=1,\mathrm{num}[5]=2$。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出$\mathrm{num}$数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 $\mathrm{num}[i]$ 分别是多少，你只需要输出所有 $(\mathrm{num}[i]+1)$ 的乘积，对 ${10}^9+7$ 取模的结果即可。

数据范围

$n\le 5,L\le 1,000,000$

Solution:

首先我们注意到 , $next$ 数组的定义是在 $s_{[1,i]}$ 这个字符串中既是 $s_{[1,i]}$ 的前缀，又是其后缀的最长字符串的长度。

然后我们要求的 $num$ 是 $s_{[1,i]}$ 中前后缀相等且长度不超过一半的前后缀个数。我们可以先考虑对于不限制长度的前后缀相等的前后缀计数。

记 $cn{t}_i$ 表示无长度限制时 $s_{[1,i]}$ 的所有前后缀中前后缀相等的个数。我们会发现 $cn{t}_i$ 其实等价于从 $i$ 往前跳 $next$ 数组，跳几次之后会为 0。

我们思考为什么：

图中红色表示 $s_{[1,i]}$ 这个字符串，前后两段绿色部分相同，四段蓝色部分相同。

我们把图画出来了之后，不难发现这样做是能保证每次跳到的 $next$ 都能保证 $s_{[1,nxt]}$ 既是前缀又是后缀，然后由于 $next$ 的定义又是 既是其前缀，又是其后缀的最长字符串的长度。我们就能保证这样不会算漏。

那么我们如何保证答案符合不超过一半长度的限制呢？ 回顾一下我们求 $next$ 时的过程，用一个辅助指针 $j$ 来表示当前能和哪一位匹配，类似的，我们在答案统计时对于长度做这样的一个限制，首先不断地跳 $nxet$ 直到 $s[j+1]=s[i]$ 或者 $j=0$,然后再看与当前后缀匹配的前缀 $s_{[1,j+1]}$ 的长度是否超过 $s_{[1,i]}$ 长度的一半，若超过，则继续往前跳 $next$.正确性见前文。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=1e6+6;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
ll mul(ll x,ll y){return x*y%mod;}
ll nxt[N],cnt[N],n;
char c[N];
ll ans;
void work()
{
    scanf("%s",c+1);
    n=strlen(c+1);
    cnt[1]=1;
    ans=1;
    int j=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)nxt[i]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(j&&c[j+1]!=c[i])j=nxt[j];j+=(c[j+1]==c[i]);
        nxt[i]=j;cnt[i]=cnt[j]+1;
    }
    j=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        while(j&&c[j+1]!=c[i])j=nxt[j];j+=(c[j+1]==c[i]);
 
        while((j<<1)>i)j=nxt[j];
        ans=mul(ans,cnt[j]+1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    //freopen("P2375.in","r",stdin);freopen("P2375.out","w",stdout);
    int T;cin>>T;
    while(T--)work();
    return 0;
}