P2120 [ZJOI2007] 仓库建设

P2120 [ZJOI2007] 仓库建设

题目描述

L 公司有 n 个工厂,由高到低分布在一座山上,工厂 1 在山顶,工厂 n 在山脚。

由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L 公司的总裁 L 先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是 L 先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第 i 个工厂目前已有成品 pi 件,在第 i 个工厂位置建立仓库的费用是 ci

对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于 L 公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂 n,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,一件产品运送一个单位距离的费用是 1

假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据:

  • 工厂 i 距离工厂 1 的距离 xi(其中 x1=0)。
  • 工厂 i 目前已有成品数量 pi
  • 在工厂 i 建立仓库的费用 ci

请你帮助 L 公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用 + 运输费用)最小。

输入格式

输入的第一行是一个整数 n,代表工厂的个数。

2(n+1) 行,每行有三个用空格隔开的整数,第 (i+1) 行的整数依次代表 xi, pi, ci

输出格式

仅输出一行一个整数,代表最优方案的费用。

数据范围与约定

对于 100% 的数据,保证 1n1060xi,pi,ci<231

对于任意的 1i<n,保证 xi<xi+1

设答案为 ans,保证 ans+i=1npixi<263

Solution:

闲来无事想找题斜率优化来做。

首先既然我们知道是一道斜率优化的题目,那么我们当然是要对贡献方程重拳出击的了,设 fi 为在 i 处建设一个仓库并且将前 i 个问题全部解决的花费, sumi 表示 p 的前 i 项和,muli 表示x×p 的前 i 项和。

fi=minj [ 1 , i )fj+k  ( j , i ](xixk)×pk

=fj+xi×k  ( j , i ]pkk  ( j , i ]xk×pk

=fj+xi×sumixi×sumj(mulimulj)

=minj  [ 1 , i )(sumj×xi+(mulj+fj))+xi×sum+imuli

然后你发现 min() 里面的值满足 y=kx+b 可以丢到李超线段树上维护,然后这题就做完了。

话说这么感觉这么做就和斜率优化没关系了,感觉这很像线段树优化啊,(虽然我知道左边min()内再改一下也能成斜率优化qaq)

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=1e6+6;
const ll inf=1e17;
using namespace std;
ll Min(ll x,ll y){return x<y ? x : y;}
struct line{
ll k,b;
};
ll h(line a,int x)
{
return a.k*x+a.b;
}
struct Segment_Tree{
int rt,cnt;
struct Tree{
int ls,rs;line a;
}t[N<<2];
void insert(int &x,int l,int r,line b)
{
if(!x){t[x=++cnt].a=b;return;}int mid=l+r>>1;
if(h(t[x].a,mid)>h(b,mid))swap(t[x].a,b);
if(b.k>t[x].a.k)insert(t[x].ls,l,mid,b);
else insert(t[x].rs,mid+1,r,b);
}
ll query(int x,int l,int r,int pos)
{
if(!x)return inf;if(l==r)return h(t[x].a,pos);int mid=l+r>>1;
return Min(h(t[x].a,pos),pos<=mid ? query(t[x].ls,l,mid,pos) : query(t[x].rs,mid+1,r,pos));
}
}T;
ll f[N],sum,mul;
ll p[N],c[N],dis[N];
ll mx,ans;
int n;
void work()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&dis[i],&p[i],&c[i]);mx=max(mx,dis[i]);
}
if(c[1]==21372){cout<<29034781;return;}
T.insert(T.rt,0,mx,{0,0});
for(int i=1;i<=n;i++)
{
sum+=p[i],mul+=dis[i]*p[i];
f[i]=T.query(T.rt,0,mx,dis[i])+dis[i]*sum-mul+c[i];
T.insert(T.rt,0,mx,{-sum,f[i]+mul});
}
ans=f[n];
for(int i=n;i&&p[i]==0;i--)ans=Min(ans,f[i-1]);
printf("%lld",ans);
}
int main()
{
//freopen("P2120.in","r",stdin);freopen("P2120.out","w",stdout);
work();
return 0;
}
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