P2387 [NOI2014] 魔法森林

P2387 [NOI2014] 魔法森林

题目描述

为了得到书法大家的真传,小 E 同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含 n 个节点 m 条边的无向图,节点标号为 1,2,3,,n,边标号为 1,2,3,,m。初始时小 E 同学在 1 号节点,隐士则住在 n 号节点。小 E 需要通过这一片魔法森林,才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候,这条边上的妖怪 就会对其发起攻击。幸运的是,在 1 号节点住着两种守护精灵:A 型守护精灵与 B 型守护精灵。小 E 可以借助它们的力量,达到自己的目的。

只要小 E 带上足够多的守护精灵,妖怪们就不会发起攻击了。具体来说,无向图中的每一条边 ei 包含两个权值 aibi 。若身上携带的 A 型守护精灵个数不少于 ai ,且 B 型守护精灵个数不少于 bi ,这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向 小 E 发起攻击,他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事,小 E 想要知道,要能够成功拜访到 隐士,最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为 A 型守护精灵的个数与 B 型守护精灵的个数之和。

输入格式

输入文件的第 1 行包含两个整数 n,m,表示无向图共有 n 个节点,m 条边。 接下来 m 行,第 i+1 行包含 4 个正整数 Xi,Yi,ai,bi,描述第 i 条无向边。 其中 XiYi 为该边两个端点的标号,aibi 的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

输出格式

输出一行一个整数:如果小 E 可以成功拜访到隐士,输出小 E 最少需要携 带的守护精灵的总个数;如果无论如何小 E 都无法拜访到隐士,输出 -1

Solution:

好神的 LCT。本来我想了个逆天的 kurskal 重构树,但是我们发现可以轻松被 hack.

我们先介绍一下如何使用 LCT 维护最小生成树:我们将 LCT 上的点分为两类,一类是原图上的点,第二类是原图上的边,我暂且称之为虚点,感觉和 kruskal 重构树其实挺像的 (所以我开局算是想对了一半?),我们在添加一条边时新建一个点,其点权为其边权 wx,然后我们在 LCT 上维护一个值 mx 表示当前平衡树下的点所对应的点权 wx 的最大值。那么我们在加一条边时,首先判断两点是否联通,不联通肯定直接加,如果联通的话,就 split(x,y) 看一下这颗平衡树上是否有边可以被当前边松弛: [wnow<mx] 假如可以,就断掉原边然后连新边。同时注意一下,由于在 LCT 上,这条边被我们用一个虚点表示了,所以我们直接把这个虚点删了,将其左右儿子的父亲设为0就好。

然后就是本题题解:我们先对所有边按 a 排序,然后求这些边以 b 为边权的最小生成树。是否纳入答案统计的判据就是 1,n 两点是否联通,如联通,splite(1,n) 求出当前状态下的 b 的最大值 t[n].mx 答案即为 a+t[n].mx

Code:

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e5+5;
const int inf=1e9;
using namespace std;
int st[N];
int w[N<<1];
struct LCT{
struct Tree{
int tag,ff,ch[2],mx,pos;
}t[N<<2];
#define ls t[x].ch[0]
#define rs t[x].ch[1]
#define fa t[x].ff
inline bool isroot(int x)
{
return (t[fa].ch[0]==x||t[fa].ch[1]==x);
}
inline void pushup(int x)
{
t[x].mx=w[x];t[x].pos=x;
if(ls&&t[ls].mx > t[x].mx) t[x].mx=t[ls].mx,t[x].pos=t[ls].pos;
if(rs&&t[rs].mx > t[x].mx) t[x].mx=t[rs].mx,t[x].pos=t[rs].pos;
return;
}
inline void rev(int x)
{
swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);
t[x].tag^=1;
return ;
}
inline void pushdown(int x)
{
if(t[x].tag)
{
if(ls)rev(ls);
if(rs)rev(rs);
t[x].tag=0;
}
return ;
}
inline void rotate(int x)
{
int y=fa,z=t[fa].ff,k=t[fa].ch[1]==x ? 1 : 0;
if(isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;
t[x].ff=z;
t[y].ch[k]=t[x].ch[!k];
if(t[x].ch[!k])t[t[x].ch[!k]].ff=y;
t[x].ch[!k]=y;
t[y].ff=x;
pushup(y);
}
inline void splay(int x)
{
int y=x,z=0;
st[++st[0]]=y;
while(isroot(y))st[++st[0]]=y=t[y].ff;
while(st[0])pushdown(st[st[0]--]);
while(isroot(x))
{
y=fa,z=t[fa].ff;
if(isroot(y)){rotate((t[y].ch[1]==x)==(t[z].ch[1]==y) ? y : x);}
rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x)
{
int y=0;
while(x)
{
splay(x);rs=y;pushup(x);
y=x;x=fa;
}
}
void make_root(int x)
{
access(x);splay(x);
rev(x);
}
int find(int x)
{
access(x);splay(x);
while(ls)pushdown(x),x=ls;
splay(x);
return x;
}
void splite(int x,int y)
{
make_root(x);
access(y);splay(y);
}
void link(int x,int y)
{
make_root(x);
if(find(y)!=x)t[x].ff=y;
return ;
}
void cut(int x) // 这里是减去一个点 x
{
splay(x);
t[ls].ff=t[rs].ff=0;
return ;
}
bool check(int x,int y)
{
make_root(x);
return find(y)!=x;
}
}T;
struct Edge{
int u,v,a,b;
bool operator <(const Edge ee)const {
return a<ee.a;
}
}e[N];
int n,m,tot,ans=inf;
void work()
{
cin>>n>>m;tot=n;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].a,&e[i].b);
}
sort(e+1,e+1+m);
for(Edge E : e)
{
int u=E.u,v=E.v,a=E.a,b=E.b;
w[++tot]=b;
if(u==v)continue;
if(T.check(u,v)){T.link(u,tot),T.link(tot,v);}
else
{
T.splite(u,v);int mx= T.t[v].mx,pos=T.t[v].pos;
if(b>=mx)continue;
else
{
T.cut(pos);
T.link(u,tot),T.link(tot,v);
}
}
if(!T.check(1,n))
{
T.splite(1,n);
ans = min(ans,T.t[n].mx+a);
}
}
printf("%d\n",(ans==inf ? -1 : ans));
}
int main()
{
//freopen("forest.in","r",stdin);freopen("forest.out","w",stdout);
work();
return 0;
}
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