P4728 [HNOI2009] 双递增序列

P4728 [HNOI2009] 双递增序列

题意简述:

给我们一个序列问我们是否可以将其划分为两个单调递增的子序列

Solution:

无比神奇的状态设计:记 f[i][j] 表示考虑到 i 且将 ai 放在 U ,U 的长度为 j 时,V 的末尾的最小值

那么我们就可以得到转移:

ai<ai+1 时,可以将 ai+1 拼到 ai 之后:
U: ........aiai+1
V: ......f[i][lenu]
f[i+1][lenu+1]=minf[i+1][lenu+1],f[i][lenu]

同理,当 f[i][lenu]<ai+1 时,可以将 ai+1 拼到 f 之后:
U: .....................ai
V: ......f[i][lenu]ai+1
f[i+1][lenv+1]=minf[i+1][lenv+1],ai

注意:本文只是使用 U 代指当前 ai 所在的数列,其实 U,V 本质上是可以交换的所以第二种情况中我 将 ai+1 拼到了 V 那么在下一次转移时,其实我还认为他是 U
也就是说,由于 U,V 之间没有本质区别,所以我们对于每次转移,称 ai 所在序列为 U , f 所在序列为 V

然后最后答案的判断显然就是 f[n][n/2] 是否被更新过了
写到这里我才发现我的注释貌似是假的
但是我题解写清楚了就行

Code:

#include<bits/stdc++.h>
const int N=2005;
const int inf=1e9;
using namespace std;
int f[N][N];
int a[N],lim[N];
int n;
void init()
{
for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<N;j++)f[i][j]=inf;
}
void work()
{
cin>>n;
init();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
int lim=n>>1;
f[1][1]=-1;
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int len_U=1,len_V;len_U<=min(lim,i);len_U++)
{
len_V=i-len_U;
// U: .....a[i]
// V: .....f[i][len_V]
// U: .....a[i],a[i+1]
// V: .....f[i+1][len_V]()
if(a[i]<a[i+1])f[i+1][len_U+1]=min(f[i+1][len_U+1],f[i][len_U]);
// U: .....a[i](f[i+1][len_U]),
// V: .....f[i][len_V],a[i+1]
if(f[i][len_U]<a[i+1])f[i+1][len_V+1]=min(f[i+1][len_V+1],a[i]);
}
}
printf(f[n][lim]==inf ? "No!\n" : "Yes!\n");
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)work();
return 0;
}
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