P3377 【模板】左偏树/可并堆

P3377 【模板】左偏树/可并堆

【模板】左偏树/可并堆

题目描述

如题,一开始有 n 个小根堆,每个堆包含且仅包含一个数。接下来需要支持两种操作:

  1. 1 x y:将第 x 个数和第 y 个数所在的小根堆合并(若第 x 或第 y 个数已经被删除或第 x 和第 y 个数在同一个堆内,则无视此操作)。

  2. 2 x:输出第 x 个数所在的堆最小数,并将这个最小数删除(若有多个最小数,优先删除先输入的;若第 x 个数已经被删除,则输出 1 并无视删除操作)。

输入格式

第一行包含两个正整数 n,m,分别表示一开始小根堆的个数和接下来操作的个数。

第二行包含 n 个正整数,其中第 i 个正整数表示第 i 个小根堆初始时包含且仅包含的数。

接下来 m 行每行 2 个或 3 个正整数,表示一条操作,格式如下:

操作 11 x y

操作 22 x

输出格式

输出包含若干行整数,分别依次对应每一个操作 2 所得的结果。

提示

【数据规模】

对于 30% 的数据:n10m10
对于 70% 的数据:n103m103
对于 100% 的数据:n105m105,初始时小根堆中的所有数都在 int 范围内。

定义:

外节点: 对于节点x,若ls[x]=0 or rs[x]=0 则称x为外节点

距离: 对于一个节点x,dis[x]的定义是:
x子树中距x最近的外节点的距离

----------------------------------------------------

左偏树的基本性质:

1.左偏树具有堆的性质:
如本题中,要求维护一个小根堆:
则有:x ,v[x]<=v[ls],v[x]<=v[rs].

2.左偏树具有左偏性质: 不然为什么叫左偏树
x dis[ls[x]]>=dis[rs[x]].

基本结论:

1.dis[x]=dis[rs[x]]+1 (显然)

2.距离为𝑛的左偏树至少2^(n+1)-1有个结点。此时该左偏树的形态是一棵满二叉树。

3.有n个的结点的左偏树的根节点的距离是log(n)的

合并:

merge(x,y) 为合并操作,其返回值为合并x,y后的根节点

注意:如果x,y有一个为空,则直接返回另一个

1,令v[x]<v[y],若不满足,则交换,此时,新的根节点为x(小根堆中)

2.将y与x的右儿子合并,合并后的返回值(根)成为x的右儿子

3.重复上述操作

对于节点x,求其所在的堆:

显然,并查集维护即可

对于本题特别要注意的是,如果查询时这个点被删除了,则输出-1

所以我们开一个数组del[x],记录x是否被删除

然后这题就做完了

Code

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e5+5;
using namespace std;
int n,m;
struct Tree{
int id,v;
bool operator<(const Tree &tt)const {
return v==tt.v ? id<tt.id :v<tt.v;
}
bool operator>(const Tree &tt)const {
return v==tt.v ? id>tt.id :v>tt.v;
}
Tree(int id_=0,int v_=0)
{
id=id_,v=v_;
}
}t[N<<1];
int ls[N],rs[N],rt[N],dis[N];
bool del[N];
int merge(int x,int y)
{
if(!x)return y;
if(!y)return x;
if(t[y]<t[x])swap(x,y);
rs[x]=merge(rs[x],y);//将y与x的右子树合并
if(dis[ls[x]]<dis[rs[x]])//不满足左偏了
{
swap(ls[x],rs[x]);
}
dis[x]=dis[rs[x]]+1;//dis[rs[x]]<=dis[ls[x]]
return x;
}
int find(int x)
{
if(rt[x]==x)return x;
rt[x]=find(rt[x]);
return rt[x];
}
void work()
{
dis[0]=-1;
cin>>n>>m;
for(int i=1,x;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
t[i]=Tree(i,x);
rt[i]=i;
}
for(int i=1,opt,x,y;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1)
{
scanf("%d",&y);
if(del[x]||del[y])continue;
x=find(x),y=find(y);
if(x==y)continue;
rt[x]=rt[y]=merge(x,y);
}
else
{
if(del[x])
{
printf("%d\n",-1);
continue;
}
x=find(x);
printf("%d\n",t[x].v);
del[x]=1;
rt[ls[x]]=rt[rs[x]]=rt[x]=merge(ls[x],rs[x]);
ls[x]=rs[x]=dis[x]=0;
}
}
}
int main()
{
freopen("P3377.in","r",stdin);//freopen("P3377.out","w",stdout);
work();
}
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