重拾莫队的一点儿思考

发现在过去一年里好多东西都忘光了，于是全部重来。

对于最简单的一个莫队情景：序列长度为 $n$，有 $q$ 次询问，插入、删除复杂度均为 $O(1)$。

我们把询问按照左端点排序，然后分块，每一块内再按照右端点来排序……等一等？

考虑一下两种不同的分块方式。

第一种，把原序列按 $B$ 分块，再将询问按照左端点所在块进行分块。

此时每一块内右端点移动次数为 $O(n)$ 级别，右端点总移动次数为 $O(\frac{n^2}{B})$ 级别；

左端点的总移动次数是 $O(qB)$ 级别。

总复杂度 $O(\frac{n^2}{B}+qB)$，当 $B$ 取 $\frac{n}{\sqrt q}$ 时平衡复杂度为 $O(n\sqrt q)$。

第二种，把询问按 $B$ 均匀分块。

此时每一块内右端点移动次数仍为 $O(n)$ 级别，右端点总移动次数为 $O(n\frac{q}{B})$ 级别；

左端点的总移动次数是 $O(nB)$ 级别。

总复杂度 $O(n\frac{q}{B}+nB)$，当 $B$ 取 $\sqrt q$ 时平衡复杂度为 $O(n\sqrt q)$。

也就是说这两种分块方式的最优复杂度都是 $O(n\sqrt q)$。有趣的是对于第二种，最优块长与 $n$ 无关。

不过这些分析也没啥用处，实际做题的时候还是直接硬调吧。