总结：网络流的最小路径覆盖模型

或许只是一个非常简单的题目类型，但是我智商太低，花了好久才理解这类模型之间的关联。

所以简单总结一下，欢迎指出错误。

原版问题#

问题 1：给定一张 $\text{DAG}$ ，需要选出最少的路径，覆盖所有点，路径不可有交。

这里直接给出做法：将每个点 $u$ 拆成左部点 $u$ 和右部点 $u'$ ，对于原图中的一条边 $(u,v)$ ，在新图中连接 $(u,v')$ 。之后新建源汇，连接所有 $(S,i)$ ， $(i',T)$ ，则最小路径覆盖 $=n-maxflow$ 。

蓝书上的理解方式是二分图最大匹配，这里之所以直接写作最大流，是为了更好地扩展到必须使用网络流算法求解的其他变种。

事实上，如果从“匹配”的角度来理解，那么一对匹配点的本质即为选出了某条路径上的一条边。对于未匹配点，未匹配的一个右侧点代表一条所选路径的起点，左端点代表终点。

因此一种天然的构造答案方式是：找出所有未匹配的右侧点，然后顺着往下把路径找出来即可。

这个经典问题可以被视为一类模型极其特殊的例子：对于给定的 $\text{DAG}$ ，选出一些路径，覆盖所有点。而在这个特例中，每条边费用均为 $0$ ，每个点选择次数均恰好为 $1$ 。正是因为有这两个条件，我们才可以用“ $n-maxflow$ "计算最小路径覆盖。

问题 2：给定一张 $\text{DAG}$ ，需要选出最少的路径，覆盖所有点，允许路径相交。

对原图进行传递闭包之后就可以转化为上一个问题。

下面总结该问题的几种变式。这几种变式在原版的基础上对一些条件进行了限制。

变式 1：边带权与起点代价#

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“瞬间移动”的本质即在经典问题的基础上增加了起点选取的代价。

考虑经典问题的建模方式。 $S\to u$ 的边本质上代表了 $u$ 不是某条路径的起点，也就是说到达 $u$ 的方式是“从某条路径走过来”。

那么我们同样连边 $S\to u'$ ，含义为点 $u$ 的到达方式为“作为起点到达”。

再来考虑“边带权”的问题。类比普通二分图匹配与二分图带权匹配的关系，经典问题带权后，我们将最大流改为最小费用最大流即可。

另外，这种变式存在另一种理解方式（最小费用可行流），参见洛谷题解区 zyb 的题解。我没有细看，不知道这种理解方式能不能推广到其他几种变式。

变式 2：限制路径条数#

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如果没有路径条数限制，那么本题与变式 1 完全一致。

处理方式也很简单：建一个新点 $S'$ ，连边 $S\to S'$ ，容量为 $K$ 。接着将所有 $S\to u'$ 全部改为 $S'\to u'$ 。

不过在这道题中，我们没有必要特意将 $S'$ 建出，只需要让 $0$ 号点承担 $S'$ 的功能即可。

变式 3：多次覆盖，限制结点覆盖次数#

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所谓的“快洗”“慢洗”本质上就是从 $u$ 向所有 $[u+m,N]$ 的 $v'$ 连边，因此这仍然是一个路径覆盖问题。

大部分题解的理解角度是拆成“早上”“晚上”，如果从路径覆盖的视角理解这种建模方式，“晚上”就是路径覆盖的左部点，“早上”是右部点。

每个点覆盖次数有下限无上限，但显然最优方案下每个点覆盖次数都等于这个下限。

类比普通二分图匹配与二分图多重匹配的关系，修改 $S\to u,u'\to T$ 的容量即可。

另外，在题解区的一些代码中，左部点集出现了顺次向后连边的情况，这似乎与我们最初建立的二分图匹配模型并不一致。这种现象出现的原因是，如果按照套路建边（ $u\to v',v\in[u+m,N]$ ），边数将会非常多，不可接受。由于本题中左、右部点间的边容量均为 $+\infty$ ，费用均为 $0$ ，我们可以采取这种方式减少边数。