窦 tree 和一个常数巨大的 O((n+q)log*n) 实现
以下三个段落是碎碎念。
以前是打算一个月写一篇来着，不过这个月现在为止还没写过什么东西（其实之前写过一篇的，不过发出来几个小时后就被 Itst 大爷认出在 CF 上有原题，所以那个模型就一点价值都没有了，现在已经被我隐藏掉了）。
实在想不出来写点啥好了，整个已经被整烂了的活。这玩意已经被发明过八百次了，而且每次发明者起的名都不一样。窦 tree 是某位学长发明这玩意时起的名字。至于那位学长是谁……emm，懂的都懂……毕竟每篇都提一次他是谁的话感觉像是在碰瓷。
讲真这玩意没啥实用价值，但我实在想不出来还能整什么别的活了那咋办嘛。如果这几天想到了其他活的话就把这篇删掉。
下面步入正题，静态区间结合律信息查询。
基本上就是照搬学长博客。
两种比较具有实用价值的做法
第一种是正常的分治数据结构，在每个结点处理左侧后缀信息，右侧前缀信息。序列长度补到 \(2\) 的整数次幂可以做到 \(O(n\log n)-O(1)\)。今天找了找出处，可能是在 这里 被最早提出来的，感觉猫树这个名字蛮可爱。
第二种是按根号递归下去，处理同一层块间信息是 \(O(n)\) 的，可以做到 \(O(n\log\log n)-O(\log\log n)\)，学长课件上说这个东西找 LCA 的过程也能优化，但我不会。
窦 tree
低配版：每一层按照 \(\log n\) 分块，块间信息可以用上面的第一种结构来维护，块内递归。这样每一层预处理复杂度是 \(O(n)\)，算上查询以后总复杂度是 \(O((n+q)\log^*n)\)。
升级版：设第 \(m\) 层数据规模为 \(n\) 时当前层数据结构的深度为 \(T(m,n)\)，我们分出的块长为 \(B(m,n)\)，那么我们令 \(B(m,n)=T(m-1,n)\)，块间信息用上一层数据结构来维护（大致可以理解为对每层的块间信息做 \(\log^*\) 的窦 tree）。块内仍旧递归。
复杂度分析：这样迭代下去，有边界 \(B(1,n)=\log n,T(1,n)=\log^*n\)，递推式 \(B(m,n)=T(m-1,n),T(m,n)=T(m,\frac{n}{B(m,n)})+1\)。这个东西降低到 \(O(1)\) 所需的层数我不会算，但学长说查表能发现是 \(\alpha(n)\)，写个代码算了算好像确实是，那就是吧。对于预处理，第 \(m\) 层的时间开销是 \(O(nT(m,n))\)，下一层的规模约为 \(O(nT(m,n)/T(m−1,n))\)（这个东西只是感性上的估计，我不会算，学长也没有给出更准确的规模），于是总时间复杂度为 \(O(n\alpha(n))\)。对于询问，每一层时间都是 \(O(1)\)，因此单次 \(O(\alpha(n))\)。
然后说说今天下午 LGMwzs 告诉我的 这玩意另外一次被发明的地方。这个老哥的理解方式蛮有趣的，在 LGMwzs 的教导下，我意识到他说的对树分层和学长说的对序列分块本质上是相同的，把这个老哥说的三次分层改改就能得到一棵窦 tree 状物。
顺便提一嘴，当初学长把这个东西命名为“窦 tree”，是为了纪念机房 2019 级伟大主席窦楠楠的英明领导（下文代码中的结构体名 dnn 即“窦楠楠”之意）。
下面是代码实现。我今天试着写了 \(O((n+q)\log^* n)\) 的低配版窦 tree。这玩意相对来说不那么难写，但完整的窦 tree 就感觉不大可写……有没有人愿意试试？
我的实现方式非常之丑，开了巨大多的 vector 和辅助变量，再加上本来窦 tree 常数也不小，所以跑得非常之慢（测了一下，打不过线段树 /狂笑）。当然我也没打算在实际做题时用这玩意，实现它也是作为码力复健的练习。
不过这玩意访问结点的数量确实比线段树要少得多，\(n=5e5\) 时随机数据下线段树单次查询的最高访问结点数达到了 \(68\)，而窦 tree 只有 \(16\)。
下面是一个板子，以多次查询区间最大子段和为例。话说我应该没写出锅吧……？
upd：发明窦 tree 的学长本人也写了一下，他的实现比我好看很多，但也使用了更多的 vector，在不开 O2 的情况下同样打不过线段树，但开了之后就跑得飞快（\(n=1e6,q=5e6\)，线段树本地 6s，窦 tree 本地 4s），因此写法好的话窦 tree 的优势应该还是很明显的。
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
#define lg(x) (31-__builtin_clz(x))
using std::vector;
const int N=524290,M=1000086;
int n,m;
long long Max(long long a,long long b){return a>b?a:b;}
long long Min(long long a,long long b){return a<b?a:b;}
int Max(int a,int b){return a>b?a:b;}
int Min(int a,int b){return a<b?a:b;}
struct infor{//信息
long long l,r,s,m;infor(){l=s=r=m=0;}
infor(long long _l,long long _r,long long _s,long long _m){l=_l;r=_r;s=_s;m=_m;}
infor operator +(const infor b){
return infor(Max(l,s+b.l),Max(b.r,r+b.s),s+b.s,Max(Max(m,b.m),r+b.l));
}
};
infor tmp[N];
struct Neko{//猫树
int sze,lsz;
vector<int>lp,rp,md;
vector<infor>p;
bool build(int k,int l,int r,infor *b){
lp[k]=p.size();rp[k]=lp[k]+(r-l+1)-1;
if(l==r){p.push_back(b[l]);return true;}
int mid=(l+r)>>1,len=0;tmp[0]=infor();md[k]=mid;
for(int i=mid;i>=l;i--){tmp[len+1]=b[i]+tmp[len];len++;}
for(int i=len;i;i--)p.push_back(tmp[i]);
p.push_back(b[mid+1]);
for(int i=mid+2;i<=r;i++){
infor lst=p.back();
p.push_back(lst+(i>sze?infor():b[i]));
}
build(k<<1,l,mid,b);build(k<<1|1,mid+1,r,b);
return true;
}
bool init(int n,infor *b){
sze=n;lsz=lg(n);if((1<<lsz)!=n)lsz++;
lp.resize(2<<lsz);rp.resize(2<<lsz);md.resize(2<<lsz);
return build(1,1,1<<lsz,b);
}
infor ask(int l,int r){
int pl=(l-1)|(1<<lsz),pr=(r-1)|(1<<lsz);
if(l==r)return p[lp[pl]];int lca=pl>>(lg(pl^pr)+1);
int mp=(lp[lca]+rp[lca])>>1;return p[mp-md[lca]+l]+p[mp+r-md[lca]];
}
};
struct dnn{//窦树(迫真主席树)
Neko t[M];
infor a[M];
int B[M],sze,pc;
vector<int>s[M];
bool build(int k,int l,int r,infor *b){
B[k]=lg(r-l+1);int lpc=pc;
for(int i=l;i<=r;i+=B[k])s[k].push_back(++pc);
for(int i=l,j=0;i<=r;i+=B[k],j++){
if(Min(B[k],r-i+1)!=1)build(s[k][j],i,Min(i+B[k]-1,r),b);
else a[s[k][j]]=b[i];
a[k]=a[k]+a[s[k][j]];
}
t[k].init(s[k].size(),a+lpc);return true;
}
bool init(int x,infor *b){sze=x;return build(pc=1,1,x,b);}
#define gb(p,b) ((p-1)/B[k]+1)
infor ask(int k,int l,int r,int x,int y){
if(l==x&&r==y)return a[k];int lp=gb(x-l+1,B[k]),rp=gb(y-l+1,B[k]);
if(lp==rp)return ask(s[k][lp-1],l+B[k]*(lp-1),Min(r,l+B[k]*lp-1),x,y);
else if(lp+1==rp){
infor r1=ask(s[k][lp-1],l+B[k]*(lp-1),l+B[k]*lp-1,x,l+B[k]*lp-1);
infor r2=ask(s[k][rp-1],l+B[k]*lp,Min(l+B[k]*rp-1,r),l+B[k]*lp,y);
return r1+r2;
}
else{
infor r1=ask(s[k][lp-1],l+B[k]*(lp-1),l+B[k]*lp-1,x,l+B[k]*lp-1);
infor r2=ask(s[k][rp-1],l+B[k]*(rp-1),Min(l+B[k]*rp-1,r),l+B[k]*(rp-1),y);
return r1+t[k].ask(lp+1,rp-1)+r2;
}
}
};
infor a[N];dnn d;
int read(){
char ch=getchar();int nn=0,ssss=1;
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')ssss*=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){nn=nn*10+(ch-'0');ch=getchar();}
return nn*ssss;
}
int main(){
freopen("dou.in","r",stdin);
freopen("dou.out","w",stdout);
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
int x=read();
a[i]=infor(Max(x,0),Max(x,0),x,Max(x,0));
}
d.init(n,a);
for(int i=1;i<=m;i++){
int l=read();int r=read();
std::cout<<d.ask(1,1,n,l,r).m<<'\n';
}
}
