数论学习大纲
不知道该写点啥了，正好最近在从零开始重学数论，那就抄书吧（
质数 / 约数
筛子略。
质因数分解
- 直接枚举约数，复杂度 \(O(\sqrt{n})\)。
- 预处理质数，复杂度 \(O(V+\sqrt{\frac{n}{\ln n}})\)。
- \(\text{Pollard-Rho}\)，不确定性算法，复杂度 \(O(n^{\frac{1}{4}})\)。
唯一分解定理
任意正整数可被唯一表示成 \(\prod p_i^{c_i}\) 形式。
求正约数集合
- 直球枚举，复杂度 \(O(\sqrt{n})\)。
- 求 \([1,n]\) 每个正整数约数集合，调和级数。
欧拉函数
\(\phi(n)\) 表示 \([1,n]\) 与 \(n\) 互质的整数个数。
\(\phi(n)=n\prod\limits_{prime~p|n}\frac{p-1}{p}\)。
性质：
- 若 \(n>1\),\([1,n]\) 与 \(n\) 互质的整数和为 \(\frac{n·\phi(n)}{2}\)。
- 若 \(a\perp b,\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\)。
- \(\sum[d|n]\phi(d)=n\)。
- 一些显然的性质略。
例题：CF594D
三轮省集最后一天猫昕出了个牛逼题，是上面这题的巨大加强版，我还不会做，回头研究研究。
反素数
约数个数多于小于该整数的所有整数的一类整数。
性质：
- \([1,n]\) 中最大的反素数是约数个数最多的数中最小的一个，易证。
- 整数 \(x\) 为反质数的必要条件：分解质因数后可写作 \(2^{c_1}\times 3^{c_2}\times 5^{c_3} \cdots\) 形式，且数列 \(c_i\) 单调不升。
求反素数：直接 \(\text{DFS}\)，搜索量很小。
有板子题，不放了。
gcd（最大公约数）
\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)=gcd(b,a\mod b)\)
\(gcd(a,b)·lcm(a,b)=ab\)
求 \(\text{gcd}\)：更向减损 / 辗转相除。
同余
剩余系：模意义下的余数域。
简化剩余系：完全剩余系中与模数互质的元素构成的子集，模意义下乘法封闭。
一些定理
费马小定理：若 \(p\) 为质数，\(\forall a\in N^*,a^p\equiv a\pmod p\)。
乘法逆元：\(a^{-1}\equiv a^{p-2}\pmod p\)。
欧拉定理：若 \(a\perp n\)，则对于任意 \(b\in N^*,a^b\equiv a^{b\mod\phi(n)}\pmod n\)。
扩展欧拉定理：不存在互质性质时，\(a^b\equiv a^{b\mod\phi(n)+\phi(n)}\pmod n\)。
例题：Luogu P4319
裴蜀定理：方程 \(ax+by=gcd(a,b)\) 有解。
拓展：方程 \(ax+by=c\) 有解当且仅当 \(gcd(a,b)|c\)。
exgcd（扩展欧几里得）
得到 \(gcd(a,b)\) 的同时求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的特解 \((x_0,y_0)\)。
原理及实现略。
令 \(d=gcd(a,b)\)，则 \(ax+by=c\) 的通解：\(x=\frac{c}{d}x_0+k\frac{b}{d},y=\frac{c}{d}y_0+k\frac{a}{d}\)。
求正整数解组数：\(\lceil-\frac{d}{a}y_0\rceil\leq k\leq\lfloor\frac{d}{b}x_0\rfloor\)。
类欧几里得（还不会，鸽了）
咕咕咕
CRT（中国剩余定理）
求方程组
\(x\equiv\begin{cases}a_1&\pmod{m_1}\\a_2&\pmod{m_2}\\\vdots\\a_n&\pmod{m_n}\end{cases}\)
的一个解，所有模数互质。
原理及实现略。
例题：Luogu P2480（？？？）
扩展 1：模数不互质
递推实现。求出前 \(i-1\) 个方程的通解后移项，构造可以进行 \(\text{exgcd}\) 的形式。
注意精度问题，有时候要用到龟速乘和大数快速乘法。
扩展 2：系数不为 1
每个方程形如 \(k_ix\equiv a_i\pmod{m_i}\)，模数不互质。
和扩展 1 基本一致，注意 \(lcm\) 的更新方式有差别。
例题：Luogu P4774
BSGS
求解高次同余方程 \(a^x\equiv b\pmod p\)，\(a\perp p\)。
平衡思想。根号分治，套哈希表。
两个扩展（暂时鸽了，会了之后回来补）
咕咕咕。
困死了我先写这点吧。
