LETTers比赛第三场 --1004 Max Sum Plus Plus 解题报告

报告人:侯建鹏

报告日期：2012/4/16

1004 Max Sum Plus Plus

解题思路：

 

动态规划的思想。

 

1.基本思路：

首先，定义数组p[n],a[m][n].

p[n]用来存储n个整数组成的序列.

a[i][j]用来表示由前j项得到的含i个字段的最大值，且最后一个字段以p[j]项结尾。仔细想想，我们可以知道： a[i][j]=max(a[i][j-1]+p[j],a(i-1,t)+p[j]) 其中i-1<=t<=j-1.

所求的最后结果为 max( a[m][j] ) 其中1<=j<=n.

但是，我们会发现，当n非常大时，这个算法的时间复杂度和空间复杂度是非常高的,时间复杂度近似为O(m*n^2),空间复杂度近似为O(m*n).因此，我们需要优化算法来降低时间复杂度和空间复杂度.

 

2.优化算法：

(1)节省时间

由基本思路，我们可以知道，a[i][j]=max(a[i][j-1]+p[j],a(i-1,t)+p[j])，其中i-1<=t<=j-1.我们只要找到a[i][j-1]和a[i-1][t]的最大值加上p[j]即为a[i][j].所以，定义一个数组pre_max[n]，用pre_max[j-1]来表示求解a[i][j]时a[i][j-1]的最大值,则a[i][j]=max(pre_max[j-1],a[i][j-1])+p[j].

特别注意，pre_max[n]这个位置的存储空间是始终用不到的，因此可以用来存储其他数值，在接下来会用到。 在求解a[i][j]的同时，我们可以计算出a[i][t];i<=t<=j的最大值，这个最大值在计算a[i+1][j+1]的时候需要作为pre_max[j]的形式被使用，我们先把它存在pre_max[n]中。

你可能会问：问什么不把它直接放在pre_max[j]中呢？因为你接下来需要计算a[i][j+1]的值，需要用到pre_max[j]中原来的值，如果你把它存在这里，就会覆盖掉计算a[i][j+1]所需要的那个值。所以，先把它放在pre_max[n]中。 当我们计算完a[i][j+1]之后，就会发现pre_max[j]中的值已经没有用处了，我们可以把它更新为计算a[i+1][j+1]所需要的那个值，即之前放在pre_max[n]中的那个值，即执行pre_max[j]=pre_max[n].

这样我们就节省了计算最大值时付出的时间代价。

(2)节省空间

通过时间的节省，我们突然间发现程序执行结束后pre_max[n]的值即为最后的结果，pre_max[n]数组才是我们希望求解的，a[m][n]这个庞大的数组已经不是那么重要了，因此，我们现在用整型数a来代替a[m][n]，用来临时存储a[i][j]的值，作为求解pre_max[n]的中介。

这样就节省了a[i][j]占用的极大的空间.

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 1000010

int p[N],pre_max[N];

int max(int a, int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int m , n , i , j , a , b ;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)==2)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&p[i]);
        memset(pre_max,0,sizeof(int)*N);
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            a=0;
            for(b=1;b<=i;b++)
                a+=p[b];
            pre_max[n]=a;
            for(j=i+1;j<=n;j++)
            {
                a=max(pre_max[j-1],a)+p[j];
                pre_max[j-1]=pre_max[n];
                pre_max[n]=max(pre_max[n],a);
            }
        }
        printf("%d\n",pre_max[n]);
    }
    return 0;
}