AtCoder Beginner Contest 044 C (背包DP、思维、*1583)

C - Tak and Cards

题意：给定 $N$ 个正整数 $x_1,x_2,\cdot \cdot \cdot ,x_n$ 和一个正整数 $A$, 问从中选择 $k$ 个数 $(k>0)$, 满足：这 $k$ 个数的平均值是 $A$ 的方案总数是多少 $(1\le N,x_i,A\le 50)$ ?

思路：从 $N$ 个元素中选择 $k$ 个元素, 并且使得它们的平均值是 $A$，即：从 $N$ 个元素中选择 $k$ 个元素, 使得它们的和为 $k\times A$
考虑 背包DP, $f_{i,j,k}$ 表示从前 $i$ 个元素中选择 $j$ 个元素, 并且它们的和等于 $k$ 的方案数。
有 ： $f_{i,j,k}=f_{i-1,j,k}+f_{i-1,j-1,k-x_i}$。时间复杂度和空间复杂度均为 $O(N^2\times 2500)$。

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点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);
	int n, a;
	std::cin >> n >> a;
	std::vector<int> x(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		std::cin >> x[i];
	}
	long long dp[n + 1][n + 1][2510];
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[0][0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= i; j++) {
			for (int k = 0; k < 2510; k++) {
				dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k];
				if (k - x[i] >= 0 && j >= 1) {
					dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - 1][k - x[i]];
				}
			}
		}
	}
	long long res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		res += dp[n][i][i * a];
	}
	std::cout << res << "\n";
	return 0;
}

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接下来考虑空间优化 (滚动数组)：