【矩阵分割】题解

合集 - csdn(18)

1.【2022暑假第一期】例题集锦2022-07-282.RMQ总结2022-08-093.CQBZ Weekly Contest2023-05-144.图的概念、存储和遍历2022-07-215.【教练】题解2022-07-156.并查集ii2022-07-137.树的模板.2022-05-288.区间dp.2022-05-159.【旅行】题解2022-05-1410.【等差数列】题解2022-02-2711.【玛丽有只小羔羊】题解2022-02-20

12.【矩阵分割】题解2022-02-19

13.【城市距离】题解2022-02-1314.【铺地毯】题解2022-02-1315.【[NOIP2002 普及组] 选数】题解2022-02-1316.【「POJ1915」Knight Moves】题解2022-02-1217.【乳草的入侵】题解2022-02-1218.1.23 ~ 1.28 2022寒假学习总结2022-02-11

收起

Link

题目描述

平面上有一个大矩形，其左下角坐标（0，0），右上角坐标（R,R)。大矩形内部包含一些小矩形，小矩形都平行于坐标轴且互不重叠。所有矩形的顶点都是整点。要求画一根平行于y轴的直线x=k（k是整数) ，使得这些小矩形落在直线左边的面积必须大于等于落在右边的面积，且两边面积之差最小。并且，要使得大矩形在直线左边的的面积尽可能大。注意：若直线穿过一个小矩形，将会把它切成两个部分，分属左右两侧。

输入格式

第一行是整数R，表示大矩形的右上角坐标是(R,R) (1 <= R <= 1,000,000)。
接下来的一行是整数N,表示一共有N个小矩形(0 < N <= 10000)。
再接下来有N 行。每行有4个整数，L,T, W 和 H, 表示有一个小矩形的左上角坐标是(L,T),宽度是W，高度是H (0<=L,T <= R, 0 < W,H <= R). 小矩形不会有位于大矩形之外的部分。

输出格式

输出整数n，表示答案应该是直线 x=n。 如果必要的话，x=R也可以是答案。

思路：

首先二分答案，即直线 $x$ 的位置。做完题后发现输入的 $T$ 没什么用。

先明确输入：在平面直角坐标系中，对于每个点的坐标 $(x,y)$，$x$ 表示列，$y$ 表示行，这与 C++ 中的数组恰好相反。但我们不需要知道这么多，每个矩形的高都为 $H[i]$，宽都为 $W[i]$，求它的面积就只用 $S=H[i]\times W[i]$ 即可。

check 函数的写法：对于每个矩形，有三种情况：

1. 全部在 $x$ 的左侧，即最右边 $L[i]+W[i]<x$

if(L[i] + W[i] < x) sum1 += H[i] * W[i];

2. 恰好被 $x$ 分为两部分，即最左边 $L[i]<=x$，最右边 $L[i]+W[i]>=x$

if(L[i] <= x and L[i] + W[i] >= x) 
  	sum1 += H[i] * (x - L[i] + 1), // 宽度为 x 分别到左右两边的距离
	sum2 += H[i] * (L[i] + W[i] - x + 1); // 上下两处可加一也可不加，不影响结果，自己思考问什么

3. 全部在 $x$ 的右侧，即最左边 $L[i]>x$

if(L[i] > x) sum2 += H[i] * W[i];

二分的写法还是没什么好说的，套就可以了。

坑点：

• 由于$1<=R<=1e6$，算面积时 $R^2$ 是肯定会爆 int 的，所以算面积的 check 函数要开 long long，既然局部开了 long long，那么最好还是把所有变量都开 long long，以免莫名奇妙 60 分。
• 并且，要使得大矩形在直线左边的的面积尽可能大。 所以，在面积差不变的情况下，答案要尽量向右。而向右的过程中，又要满足答案不超过边界 $R$。

Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL; // 将 long long 改名为 LL
using namespace std;
const int Maxn = 1e4 + 5;
LL R, n, l = 1e6, r, L[Maxn], T[Maxn], W[Maxn], H[Maxn];
LL check(LL x) { // 解释见上文
	LL sum1 = 0, sum2 = 0;
	for(int i = 1;i <= n; ++i) { 
		if(L[i] + W[i] < x) sum1 += H[i] * W[i];
		else if(L[i] > x) sum2 += H[i] * W[i];
		else sum1 += H[i] * (x - L[i] + 1), sum2 += H[i] * (L[i] + W[i] - x + 1);
	}
	return sum1 - sum2;
}
int main() {
	scanf("%lld %lld", &R, &n);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		scanf("%lld %lld %lld %lld", &L[i], &T[i], &W[i], &H[i]);
		l = min(l, L[i]), r = max(r, L[i] + W[i]);
	}
  	// 二分
	while(l < r) { // 还剩一个数时退出
		LL mid = l + r >> 1; // 当还剩两个点时，mid定为l，下一次l=mid+1=r，肯定能跳出来
		if(check(mid) < 0) l = mid + 1; // 左边面积小了，将x右移。这样说明答案没有可能是mid，所以要加一
		else r = mid; // 在左面积大于右面积的情况下找最小
	}
	while(check(r + 1) == check(r) and r < R) r ++; // 往右不影响面积差，且不超过边界
	printf("%lld", r);
	return 0;
}

听说还有种前缀和的做法，我暂时还没想出来，欢迎大家讨论！