并查集ii

合集 - csdn(18)

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收起

一、基础

并查集是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并能够支持合并和查询的数据结构。

对于含有包含关系的数据，并查集能很高效地处理。

基本函数：

1。初始化：

每个人的祖先都是它自己。

void Make_Set() {
	for(int i = 1;i <= n; ++i) fa[i] = i;
	return ;
}

2。查找根节点：

int Find_Set(int x) {
	if(fa[x] == x) return x;
	else return Find_Set(fa[x]);
}
// 简化：
int Find_Set(int x) {
	return fa[x] == x ? x : Find_Set(fa[x]);
}

但是这样可能整条链非常长，每一次更改都要往上找根。

不妨这样：每次递归 Find_Set 的时候，顺便将返回值复制给 ${fa}_x$。这样在递归的路径上，我们就可以使途中的每一个点用 $\Theta (1)$ 的时间复杂度顺带更新 ${fa}_i$，省了不少时间。这就是路径压缩。

优化后：

int Find_Set(int x) {
	return fa[x] == x ? x : (fa[x] = Find_Set(fa[x]));
}

3。合并：

void Union_Set(int s, int e) {
	int u = Find_Set(s), v = Find_Set(e);
	if(u != v) fa[u] = v;
	return ;
}

但是这样的话，每次合并操作都会把元素放到末尾处，寻找根节点时要花费很长时间。我们可以直接把它放到根节点的下面，如图：

代码的实现也很简单。每次合并，判断哪一坨长，就把小的接在它后面。这就是按秩合并。
特殊情况：两边长度相等，接在一起后长度要加一。
如图：

优化后：

void Union_Set(int s, int e) {
	int a = Find_Set(s), b = Find_Set(e);
	if(a == b) return ;
	if(rank[a] >= rank[b]) fa[b] = a;
	else fa[a] = b;
	if(rank[a] == rank[b]) rank[a] ++;
}

二、例题

搭配购买

一些商品必须同时购买，就等同于一个它们体积、价值之和的商品，可以用并查集处理。然后就是裸的01背包。

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