RMQ总结

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收起

〇、注意

本文中的 $\log$ 都是以 $2$ 为底。

一、使用范围

RMQ 是处理区间最值的一种高效算法。

二、算法描述

我们以 数列区间最大值 为例。

很容易想到，直接枚举 $[l,r]$ 求出最大值，时间复杂度为 $O(NM)$。

RMQ 是怎么处理的呢？定义 $d{p}_{i,j}$ 表示从 $i$ 出发，长度为 $2^j$ 的序列最大值。

1. 初始化
   刚开始时，$d{p}_{i,0}=a_i(1\le i\le N)$。因为 $2^0=1$，就是每个元素它自己，肯定是它自己最大。

2. 计算
   对于任意 $d{p}_{i,j}(i\ne j且i<j)$，把它看作长度均为 $2^{j-1}$ 的 $[i,i+2^{j-1}-1]$ 和 $[i+2^{j-1},i+2^j-1]$ 两部分合并取最大值。所以 $d{p}_{i,j}=\max (d{p}_{i,j-1},d{p}_{i+2^{j-1},j-1})$。其中 $j$ 是作为转移的阶段，因为 $j$ 由 $j-1$ 转移而来，所以要放在第一层循环。
   让我们来计算时间复杂度。首先 $j$ 的上限是 $\log N$，里面 $i$ 从 $1$ 到 $N-2^j+1$，约为 $N$ 次。所以，预处理的时间复杂度为 $O(N\log N)$。

3. 查询方法
   对于查询区间 $[l,r]$，我们的答案就是 $\max (d{p}_{l,k},d{p}_{r-2^k+1,k})$ ，其中 $k=\log (r-l+1)$。因为 $d{p}_{l,k}$ 是 $[l,l+2^k-1]$，$d{p}_{r-2^k+1,k}$ 是 $[r-2^k+1,r]$，只需证明 $l+2^k-1\ge r-2^k+1$ 即可。这样每个元素都参与了计算。证明：
   $设l+2^k-1\ge r-2^k+1成立$
   $\therefore 2\times 2^k\ge r-l+2$
   $将k=\log (r-l+1)代入得：$
   $2(r-1+1)\ge r-l+2$
   $\therefore r-l\ge 0$
   $\therefore r\ge l$
   $这是我们默认的。所以假设成立。$
   $得证。$
   这样，我们就只用 $O(1)$ 的时间复杂度就可以进行查询了。

总的时间复杂度就是 $O(N\log N+M)$。

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Maxn = 1e5 + 5;
int n, m, x, y, a[Maxn], dp[Maxn][20];
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) dp[i][0] = a[i];
	for(int j = 1;(1 << j) <= n; ++j)
		for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
			dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
	while(m--) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		int k = log2(y - x + 1);
		printf("%d\n", max(dp[x][k], dp[y - (1 << k) + 1][k]));
	}
	return 0; 
}