【2022暑假第一期】例题集锦

合集 - csdn(18)

1.【2022暑假第一期】例题集锦2022-07-28

2.RMQ总结2022-08-093.CQBZ Weekly Contest2023-05-144.图的概念、存储和遍历2022-07-215.【教练】题解2022-07-156.并查集ii2022-07-137.树的模板.2022-05-288.区间dp.2022-05-159.【旅行】题解2022-05-1410.【等差数列】题解2022-02-2711.【玛丽有只小羔羊】题解2022-02-2012.【矩阵分割】题解2022-02-1913.【城市距离】题解2022-02-1314.【铺地毯】题解2022-02-1315.【[NOIP2002 普及组] 选数】题解2022-02-1316.【「POJ1915」Knight Moves】题解2022-02-1217.【乳草的入侵】题解2022-02-1218.1.23 ~ 1.28 2022寒假学习总结2022-02-11

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Day 1

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性格公交车

每排有两个座位，所以只可能是一个内向的先坐下，然后一个外向的再坐下。同时，要考虑座位的宽度。

不难想到定义一个小根堆和一个大根堆，分别表示内向和外向的人可以坐的座位。开始时，所有座位的宽度放到小根堆里，每次内向的人就选顶部的座位。同时，把这个选择的座位放进大根堆里。这个座位就满足已经有一个内向的人。

时间复杂度 $O(n\log n)$

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题海战

看到输入可能有重复，不难想到用 set 去重。每次用所有题目的全集在参加学生中筛选题目。对于比赛，只要学生的题目和目前的题目有重复，那就删掉它；对于训练，如果目前某一题目有人没有做过（即没有重复），就删掉它。

输出从小到大，而 set 内部有序，直接输出剩下的题目。

因为每次要不断删除题目，局部接近 log 级，时间复杂度为 $\Theta (nk\log m)$（也许并不准确）。

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Day 2

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01背包第k优解

首先，第 $k$ 优解必定由目前的前 $k$ 优解转移过来。注意原先的转移方程：$d{p}_j=\max (d{p}_j,d{p}_{j-w_i}+v_i)$。不难想到用两个数组记录下 max 里的两个值。在原有的 $dp$ 基础上再加一维，表示第几优解。

利用归并排序的思想，不断用两个数组的值更新前 $k$ 优解。

时间复杂度 $O(nvk)$。

for(int i = 1;i <= n; ++i)
	for(int v = V;v >= w[i]; --v) {
		int a[Maxn], b[Maxn];
		for(int j = 1;j <= k; ++j)
			a[j] = dp[v - w[i]][j] + c[i], b[j] = dp[v][j];
		int x = 1, y = 1, z = 1;
		a[k + 1] = b[k + 1] = -1; 
		while(z <= k and (a[x] != -1 or b[y] != -1)) {
			if(a[x] > b[y]) dp[v][z] = a[x++];
			else dp[v][z] = b[y++];
			if(dp[v][z] != dp[v][z - 1]) z ++;
		}
	}

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Day 3

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银河英雄传说

难点是求间隔的战舰。

分别记录每个点到根节点的距离，并查集的长度。

合并两个并查集 $x$ 和 $y$ 时，可以对并查集的长度进行修改。将 $y$ 到 $x$ 的距离更新为原来 $x$ 的长度。

这样就有效处理了根节点，那每个子节点怎么更新呢？

只需要在查找的时候，顺带把子节点加上父节点到根的长度。

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团伙

朋友之间不难求，但是敌人呢？

构造虚点，把敌人归在 $[n+1,2n]$ 的编号中，这样敌人的敌人还是会在 $[1,n]$ 中并与这个人属一个集合。统计时，还是只看 $[1,n]$，忽略敌人。

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格子游戏

封圈时，圈中的所有点都是连通的。只要加入这个两点的时候发现它们在同一个并查集中，就是封圈。

注意点的存储，为避免重复，把二维坐标转化成点 $x\ast n+y$。

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7.27测试

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A

枚举起点，分别构造最小生成树。

把每个点连接的边权 $d_i$ 事先设成 $v_i$，在求解过程中再更新 $d_i$。

时间复杂度 $O(n^3)$。

不难发现：建造一个发电站，就是一个自环，如何处理呢？对于每个点，都有一个自环。而且必须保证至少有一个点要走这个自环。不妨引入一个虚点 $0$，让每个点的自环都变成 $0$ 到 $i$ 的边。讨论正确性。

最小生成树是图中的一个联通块。因为必须有一个点与 $0$ 连接，所以加上 $0$ 之后，仍是连通的。

时间复杂度 $O(n^2)$。

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C

易得守卫有 $n+m$ 个，思考怎么维护代价。

观察到 $n,m,nm\le 10^5$，正常的二维数组存储肯定会爆，想到图。

把它的横纵坐标分别作为起点和终点，为了避免点重复，将终点加上 $n$，这样就变成 $i$ 到 $j+n$ 之间存在一条长度为 $w_{i,j}$ 的边。

每一行 $i$ 与某一列 $j$ 相连，维护的是行。某一列 $j$ 与某一行 $i$ 相连且不重复，维护的是列。

这样最小生成树跑出来是 $n+m-1$ 条边，而要使边数为 $n+m$，相当于要在树上再连一条边，形成基环树。

求最小基环树即可，类似于 kruskal。

时间复杂度 $O(nm\log (n+m))$。

参考

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D

一眼区间dp，对于每个 $[i,i]$，可以确定 $i$ 是否有球。同样，知道 $[i,j]$ 和 $[i+1,j]$ 也可以判定。

时间复杂度 $O(n^3)$。

考虑优化。借助上面的思想，换一种角度：把每个 $[i,j]$ 看作图中的一条边。由于存在有意义的自环 $[i,i]$，为了不影响结果，只需要看作是 $[i-1,i]$ 即可。因此，存的 $[i,j]$ 也要变成 $[i-1,j]$。（可以理解为构造虚点）

要知道每个杯子的情况，即要使 $[i-1,i]$ 连通，也就是让整个图连通，又要花费最小，而花费又是边权，问题就转化成了求最小生成树。

时间复杂度 $O(n^2)$。