Ad-hoc 题目总结

明天补双序列。

这是一年前写的：https://www.becoder.com.cn/article/14590。

现在我在其基础上，再补充这一年做的一些新题。

力推：https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/15398779.html。

我先逗大家乐一下：

Ad-hoc 题可能不一定能找出实力最强的选手，但一定能找出最适合做出题人 npy 的选手。

属于“思维体操”，做之前会异常兴奋，做之后会只想睡觉。

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1 总结

Ad-hoc 是对一类特殊题目的统称，包含构造。这类题目往往没有套路的方法。考察选手的观察力和思维力。

1.1 利用特殊性质

在这类题目中，挖掘特殊性质是关键。有时候出题人会给你特殊性质，那么请不要犹豫。因为出题人通过特殊性质，已经把解题的道路给你铺开了。绝大多数题目都是这样组成：

1. 首先你要会特殊性质的做法。然后你需要想办法再进行操作，使得题目的约束简化成特殊性质的约束。2.1 2.5。

2. 你要会 A 和 B 性质分别怎么做。如果你知道把 AB 结合起来该怎么做，正解就出来了。2.2。

1.2 快速找到性质

虽然这类题很容易被天赋哥拉开差距，但我们仍可以总结一些常用的技巧来快速地“注意到”某些关键性质和突破口。

• 操作在何时一定成立 / 不成立。或者哪些东西是恒变的 / 恒不变的。

  • 2.1 中，当 $a_i/a_j=1$，或 $a_i=a_j$ 时一定有贡献。
  • 2.2 中，长度为 2 的不相同字符一定不回文。
  • 2.4 中，$n$ 一定会作为一个字串地最大值。
  • 2.6 中，不同颜色地两点间有环时一定满足。
  • 2.10 中，当 $p_i=1$ 时一定交换 $p_j,p_k$，$p_i=n$ 类似。
  • 2.11 中，数 $n$ 在 Task1 中不会带来变化；Task2 中会让所有后面的所有前缀积积变成 0。
  • 2.12 中，$p_{i}mod3=0$ 的数一定不影响。

• 题目给的范围 / 上限为什么这么奇怪？

  • 2.1 中，$a_i$ 上界是 $2n-1$，用来构造什么的？
  • 2.3 中，$x$ 上限比 $m$ 大，是不是要询问很大的 $x$？
  • 2.10 中，为什么 $L$ 可以取到 $O(n)$ 级别？
  • 2.5 这个上界比较奇怪。但也可以提醒我们将 $b,c,d$ 构造地不要太大，控制在和 $a$ 一个数量级。

• 首先尝试直觉 / 最简单的构造 / 方法。能否通过调整使之满足限制 / 有解？

  • 2.7 中，肯定构造菊花图，具体怎么生成？
  • 2.11 中，Task2 能否就让前缀积顺序取 $1,2,...,n$？
  • 2.12 中，可以把 $p_i$ 相同的放在同一层。让 $p_i=1$ 放在奇数层，$p_i=2$ 放在偶数层。如何结合？

• 考虑枚举第一步。接下来的问题是否更简单了？

  • 2.9 中。
  • 2.14 中，枚举第一步是左还是右就划分成了两个栈的问题。

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2 例题

2.1 P11277 世界沉睡童话

构造一个长为 $n$ 正整数序列 $a$，满足恰有 $k$ 组无序正整数对 $(i,j)$，满足 $max(a_i,a_j)$ 是 $min(a_i,a_j)$ 的倍数。你需要保证 $a_i\le 2n-1$。

部分分：$k=0$；$k\le n-1$。

先考虑 $k=0$ 怎么做，显然就是要构造所有数都互质。直接从 $n-1$ 到 $2n-1$ 即可。

$k\le n-1$：这是比较难的部分。

我首先想到：构造一系列类似 $x,2x,3x,...,px$ 的东西，每个代价是 $\frac{p(p-1)}{2}$。每次二分最大的 $p$，让 $k$ 不断逼近 0 即可。

但是这样细节比较多而且没有很快的找 $x$ 的方法。并且还有一个最大的问题：可能构造的 2 组互相满足了倍数关系！直接完蛋！

让 $k$ 不断逼近的思想是好用的。要优化我们的构造。

注意到题目没有让所有数不同。很快地想到等效构造：$p$ 个 $x$！

如何使得这些 $x$ 互质？使用 $k=0$ 时构造的那些数即可。

到这里就解决了 $k\le n-1$ 的问题，对于 $k\ge n$ 的部分，我们自然尝试将 $k$ 变小直到 $k\le n-1$：

一个观察：如果一个数对中有 $1$，那么其一定有贡献。

每向序列中加入一个数 $1$（假设现在一共有 $i$ 个），就会带来 $n-i$ 的贡献。

一直加入 $1$ 直到 $k\le n-1$，此题解决。

此题的思考方向：$k=0$ 和 $k\le n-1$ 的构造 -> 构造操作使得 $k\le n-1$。

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2.2 P11190 「KDOI-10」反回文串

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，你需要把 $s$ 分成若干个非空子序列，使得每一个子序列都不是回文的，并最大化划分成的子序列数。

特殊性质 A：保证 $n$ 是偶数，且 $s$ 中每个字符的出现次数都不超过 $\frac{n}{2}$；
特殊性质 B：保证 $s$ 中仅有 a 和 b。

突破口：长度为 2 的不相同字符一定不回文。

特殊性质 A：直接构造所有子序列长度为 2。问题变成找到 $n$ 对互不相同的数。将字符串排序。并将 $i$ 和 $i+\frac{n}{2}$ 配对。如果 $2\nmid n$，则把中间那个数加入 $(1,n)$ 即可。注意不能随便加！否则可能出现 aba 类似的回文。

其他情况下会有一个绝对众数 $a$，肯定每个子序列不能只是由 $a$ 组成了。但是可以类似地构造：先放一堆长度为 2 的，最后再把剩下构造一组，这一组有 1 个不是 $a$ 的，其他全是 $a$。

如何避免剩下这个字符串是回文的情况？想到：把不是 $a$ 的最前面的和 $a$ 最后面几个匹配。发现 wa 了。于是再判断把不是 $a$ 最后面的和 $a$ 最前面几个匹配。过了。证明简单。

此题的思考方向：A,B -> 正解

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2.3 P11145 「SFMOI Round I」Strange Homura Game

$m\in [2,{10}^{17}]$ 未知，你需要询问不超过 2 次来确定 $m$。每次询问给出 $x\in [0,{10}^{18}]$，返回 $xmodm$ 的值。

一个性质：当 $x<m,xmodm=x$。

所以可以二分 $x$ 来询问，找到最大的 $xmodm=x$，$m$ 既是 $x+1$。该方案询问次数：$\log V$。

注意到 $x$ 上限比 $m$ 大。直觉告诉我们询问的 $x$ 必须非常大。（尝试构造小的 $x$ 无果）

又一个性质：$m\mid (x-xmodm)$。这里的限制就非常强了！我们只需要让两次询问的 $(x-xmodm)$ 的公因数唯一，就解决了！

事实上，这样的 $x$ 是不好找的。放弃这个方法。

不妨先询问一次得到：$m\mid (x-xmodm)$。把后面那个东西减一，有：

$$(x-xmodm-1)\equiv (m-1)(\mathrm{mod}m)$$

所以第二次询问必定会返回 $m-1$，此题结束。

此题的思考方向：先询问使得 $m$ 是一个数 $k$ 的约数 -> 发现 $k-1$ 返回的是 $m-1$。

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2.4 P11132 【MX-X5-T4】「GFOI Round 1」epitaxy

构造一个 $n$ 阶排列，使得排列中：“所有的 $n-m+1$ 个长度为 $m$ 的连续子串内最大值的最大公因数”最大。

突破口：最大值。

必然有一些子串的最大值是 $n$。所以我们就需要让其他子串的最大值都是 $n$ 的约数。

先判掉把 $n$ 放到中间就是所有子串的最大值的情况。

我们肯定希望这个 gcd 是 $n$ 的不包含自身的最大因子 $x$，并且不能比 $m$ 更大。下面给出一种构造方案证明一定可以。

首先我们需要所有子串的最大值都是形如 $kx\le n$ 的形式，贪心地让他们相隔尽量远，都放在 $(k-1)m+1$ 的位置。

然后我们只需要把剩下的数放进去，并且使得他不是任何一个子串的最大值即可。从小到大放就可以了。

为什么这样一定可行，首先由于 $x\mid n$，所以每一段的大小都是相等的，每一段的第一个位置都是 $kx$，这一段后面跟的数都小于它，所以最大值也没有被替代。

举例：

当 $n=12,m=3$，构造如下：

$\ast 3,1,2,\ast 6,4,5,\ast 9,7,8,\ast 12,10,11$

注意标星号的位置，看看他们是不是完全包含了所有子串的最大值。

此题的思考方向：最大值 -> 枚举 $n$ 的每个约数判断是否合法 -> 发现 $n$ 的最大不超过 $m$ 的约数一定可以构造。

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2.5 P11036 【MX-X3-T3】「RiOI-4」GCD 与 LCM 问题

给定正整数 $a\le {10}^9$，构造三个正整数 $b,c,d$ 使得 $a+b+c+d=gcd(a,b)+\mathrm{lcm}(c,d)$。你需要保证 $b,c,d\le 1634826193$。

部分分：$2\nmid a$。

首先尝试：$b=1$，那么要求：$a+c+d=\mathrm{lcm}(c,d)$。

自然地想到让 $c,d$ 与 $a$ 有关，最好右边是个 $2a+k$ 的形式。那么构造：$c=2,d=a+2$。这组构造当 $2\nmid a$ 时成立。

自然考虑 $2\mid a$ 的情况。其它做法留给打表哥。

类似 P11277 的思想：能不能回到 $2\nmid a$ 的情况？比如，我把 $a$ 拆成：$2^w\times k$，满足 $k$ 是奇数。显然一定可以拆成这样的形式。

把 $c,d$ 都调整：$c=2^{w+1},d=2^w\times k+2^{w+1}$。带入原始式子：

$$2^w\times k+2^{w+1}+2^w\times k+2^{w+1}=\mathrm{lcm}(2^{w+1},2^w\times k+2^{w+1})$$

不难证明后面的 lcm 的结果是：$2d$。把 $a,c,d$ 带进去：

$a+c+d=2d$

显然 $a+c=d$，于是得证。

此题的思考方向：数学直觉 先确定难搞的 gcd，考虑 lcm -> 发现构造只满足 $2\nmid a$ -> 构造 $2\mid a$ 的情况。

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2.6 P11022 「LAOI-6」Yet Another Graph Coloration Problem

小 R 有一张 $n$ 个节点和 $m$ 条的边简单无向图，节点的编号依次为 $1\sim n$。她想要为图中的每个节点分配黑色或白色的颜色，使得：

• 有至少 $1$ 个黑色节点和 $1$ 个白色节点；
• 对于任何一对点对 $(u,v)$，只要 $u$ 和 $v$ 的颜色不同，就存在至少 $2$ 条从 $u$ 到 $v$ 的不同的简单路径。

突破口：至少 2 条路径。想到构造一个环（$\ge 3$），只要两点之间的路径要经过环，那么他们就一定有 2 条以上的路径。

我们发现如果这个图没有环一定无解。

一个环把整个图划分成了若干个不相关的子图，我们想到让每个子图颜色相同。这样内部就不用管了。

考虑结合起来，环上每个点的子图交替染色即可。

考虑一种特殊情况：环上一个点 $x$ 的子图和环上另外一个点 $y$ 相连。此时如何染色？

让这个子图和 $y$ 断开，即使得 $x$ 和 $y$ 的子图染不同颜色，并钦定这个子图不属于 $y$ 的子图。

容易证明这样构造合法。上述情况本质上是环上接了另外一个环。

此题的思考方向：参照环 -> 环外所有子图内部染相同颜色 -> 结合起来交替染色。

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2.7 P10678 『STA - R6』月

给定正整数 $n$ 和每个点 $i$ 的度数 $d_i$，你需要构造一棵树，最小化其直径。

很容易想到菊花图的构造方式。麻烦的是对于每个点的度数的限制。

猜想：按照度数从大到小，依次接入点。

证明即构造：希望尽可能地使层数浅的点更大。

模拟是简单的。

此题的思考方向：菊花图 -> 贪心/证明

类似题：CF1092E

给定一张图，由若干森林组成。请给这张图再添加若干条边，使得这张图变成一棵树，且树的直径最小。

解：求出每个树的直径中点，并都接到其中一个中点上去。枚举接哪个中点即可。

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2.8 P9915 「RiOI-03」3-2

给定一个正整数 $n$。将 $[0,2^n)$ 中每个整数的二进制最低 $n$ 位从低到高依次写在一个 $2^n\times n$ 的矩阵上。矩阵两维的下标都从 $0$ 开始。 给定 $q$ 次询问，每次询问这个矩阵下标为 $(x,y)$ 的格子所在的四连通块大小对 $998244353$ 取模的值。下图是 $n=3$ 的情况：

说实话没什么突破口，尝试打一个大一点的表。

性质：所有连通块的右边界都是整齐的一列。并且都存在一行使得最左边是第 0 列。

证明可以考虑从 $x\to x+1$ 的进位情况。

打表还可以发现每个连通块不同列都是 $2^j$ 的大小，于是总和就是 $2^{maxj+1}-1$。所以我们就只需要找到最右边那一列。

暴力人人都会：直接向右枚举 $y^{\prime }$，判断 $x$ 行上 $y$ 和 $y^{\prime }$ 列的数是否相同即可。是 $O(n)$ 的，无法通过。

观察数据范围：$x\le {10}^{18}$。也就是说当 $y>\log x$ 时，这个连通块一定全是 0，并且顶到了 $n$ 这一列。所以我们的 $y$ 就变成了 log 级别。

此题的思考方向：打表发现性质 -> 找到询问点的右边界 -> 观察数据范围优化算法。

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2.9 P9870 [NOIP2023] 双序列拓展

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2.10 P9347 似曾相识燕归来

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$。现在可以进行至多 $L$ 次如下操作：

• 选定三个整数 $i,j,k$ 满足 $1\le i<j<k\le n$，如果 $p_i>p_k$，交换 $p_i,p_j$；否则交换 $p_j,p_k$。

构造方案使得 $\mathrm{\forall }1\le i\le n$ 都有 $p_i=i$。满分限制：$L=n$。部分分：$L=n+1/n+2$。

提醒：此题需要分讨多种情况，请预留充足的时间。

避免被 corner case 卡，先特判 $n\le 4$ 的情况。

发现操作没有规律，不妨先固定一位：先让 $p_1=1$。

接下来我们只需要操作至多 $n-2$ 次就可以排序，依次枚举 $i,po{s}_i$ 并操作 $(1,i,po{s}_i)$ 即可。

现在问题变成：如何通过 $2$ 次操作使 $p_1=1$？

观察操作，我们希望让 $j=po{s}_1$。并且 $i=1$。那么 $k$ 就需要是 $po{s}_1$ 后面的小于 $p_1$ 的数的位置。

如果存在 $k$ 那么一次操作即可解决，否则还需要一次操作使得 $k$ 存在。（特判 $p_n=1$，此时一定无解）

如何操作使得 $k$ 存在不难，不细说了。

$p_1=2$ 的情况呢？注意到无法通过 2 次操作完成。所以这样构造：通过 3 次操作，使得 $p_1=1,p_2=2$。或者类比地进行多次操作。

后面的构造就比较繁琐和考验耐心了，也并不容易。这里就不展开了。笔者被恶心到了。

此题的思考方向：$p_1=1$ 后 $n-2$ 步 -> 构造 $p_1=1$ -> 原始 $p_1\ge 3$ 好做 -> 考虑 $p_1=2$。

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2.11 P3599 Koishi Loves Construction

Task1：试判断能否构造并构造一个 $n$ 阶排列，满足其 $n$ 个前缀和在模 $n$ 的意义下互不相同。

Task2：试判断能否构造并构造一个 $n$ 阶排列，满足其 $n$ 个前缀积在模 $n$ 的意义下互不相同。

突破口：数 $n$ 放的位置。

都先把 $n=1$ 特判了。

Task 1：

$n$ 对于我们的前缀和没有任何的影响。所以必须放到开头。

这说明一定有 $0$ 的前缀和，注意到无论怎么排列这个排列一定有前缀和（所有数的和）：$1+2+...+n=n(n+1)/2$。所以当 $2\mid (n+1)$ 时这玩意模意义下为 $0$，无解。

回到构造上，看看直接构造前缀和为 $[1,n]$。失败。

考虑反复横跳。这是我编的，但这个构造方法真的很常用。发现构造 $n,1,n-2,3,n-4,5...$ 满足约束。

感性理解可以把每一对 $(i,n-(i+1))$ 这种视作给前缀和 -1。

Task 2：

类似地，数 $n$ 后面的前缀积全部是 $0$。所以它必须放在最后。

接下来的构造非常清新：逆元。

不妨先设 $n$ 是质数。并且最简单地构造 $[1,n)$ 作为前缀积的排列。每次要满足：$(i-1)\times p_i\equiv i(\mathrm{mod}n)$。可以直接逆元算出 $p_i$。

很容易证明这样子构造的 $p$ 是一个排列。

$n$ 不是质数的情况？感觉好像都不合法啊，毕竟有因子了。而且逆元不唯一。

但事实是，当且仅当 $n=4$ 的时候排列：$1,3,2,4$ 合法。记得特判。

此题的思考方向：特殊值 $n$ 的位置 -> 尝试最简单的构造方式/打表找通解 -> 证明其他情况无解（这一步可以省去）。

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2.12 AT_hitachi2020_c ThREE

给定一棵树，要求构造一个排列 $P$，使得：对树上的每一对点 $(i,j)$，如果这两个点之间的距离为 $3$，则 $p_i\times p_j$ 和 $p_i+p_j$ 中至少一个为 $3$ 的倍数。

看到距离为奇数尝试按深度奇偶来做。

若 $p_{i}mod3=0$ 则放到哪里都可以（不妨最后放），若 $p_{i}mod3=1/2$ 则要求和 $2/1$ 或 $0$ 匹配。所以问题就是怎么分配 $1,2$。

注意不一定非要把 1 放奇，2 放偶，因为他们之间的距离是奇数但不一定是 3。所以优先肯定考虑的是：让一个值（1/2）能在一个深度被分配完。满足这个的时候，才需要让他们奇偶不同。后面就在剩下的地方放 0 即可。

证明省略。

可以用 vector 维护深度奇偶的点集，每次取 back 并弹出即可。

此题的思考方向：发现 1 和 2 结合以及 3 的特殊性 -> 按照奇偶进行构造。

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2.13 CF1990C Mad MAD Sum

很多题目都满足一个性质：操作若干次后恒不变。根据这个可以秒掉一堆 Ad-hoc 题。这个题虽然只有 *1500，但其每次操作都有一定的变化，只不过变化是有规律的。较前面那种纯模拟题要有趣一些。

打表发现：原数组操作常数次后形态变化稳定。

于是先暴力操作常数次，然后观察后面每次操作如何变化。

自己构造一组数量级在 10 左右的数据并打表，发现每次数的种类和相对位置不变，整体向右平移 1，超过 $n$ 的位置永远消失。

然后就可以统计贡献了，这个不是本题的难点。

此题的思考方向：操作若干次后数组稳定 -> 观察每次操作的变化 -> 维护贡献。

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2.14 P7915 [CSP-S 2021] 回文

给定正整数 $n$ 和长为 $2n$ 的序列 $a$，在这 $2n$ 个数中，$1,2,\dots ,n$ 分别各出现恰好 $2$ 次。现在进行 $2n$ 次操作，目标是创建一个长度同样为 $2n$ 的序列 $b_1,b_2,\dots ,b_{2n}$，初始时 $b$ 为空序列，每次可以进行以下两种操作之一：

1. 将序列 $a$ 的开头元素加到 $b$ 的末尾，并从 $a$ 中移除。
2. 将序列 $a$ 的末尾元素加到 $b$ 的末尾，并从 $a$ 中移除。

我们的目的是让 $b$ 成为一个回文数列。输出字典序最小的操作方案。

容易发现每次操作确定后，其对应的第 $2n-i+1$ 次操作选的数也就对应了。但是这样过后就没有思路了。

不妨枚举第一步选左边还是右边的元素。并找到相同元素的位置 $pos$ 作为断点。假设先选的是 1，那么原问题变成了：$[1,pos),(pos,n]$ 的两个问题。记为 $c,d$。

每次只能选 $c$ 的左边或 $d$ 的右边删。并且其对应的倒数次删的位置必须在 $c/d$ 的底部（靠近 $pos$）的那一侧，否则删到最后一定无解。

字典序最小是很好模拟的，只需要分讨 4 种情况。无解也不难判断。

此题的思考方向：一次操作确定了第倒数次操作 -> 枚举第一步操作什么 -> 划分成双栈问题，再模拟。