NOIPro 模拟赛 | R15

合集 - NOIP 模拟赛(12)

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收起

习惯了谎话，早已分不清真假。

其实这场出得还挺好的，让我们为出题人点赞！

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T1

做了 45 分钟，废了。

首先想到：从小到大加数，然后加到合法的时候再回来删除多余数。

很容易被 hack，比如前面有 2,3 把左边覆盖完了，中间来一个 4。最终我们必定将这个 4 删掉，显然不优。

场上根据这个反例就发现中间一行、一列的点非常重要，然后手搓了一下样例发现：选择的数不会很多。

又：一个数至少会覆盖一个角。

于是大胆猜测：至多选择 4 个数。看上去也是比较显然的，因为一个角的位置用 2 个位置覆盖真的不优。

那么根据选择多少数讨论就做完了。

T2

首先理解题意，然后注意到 $b_x=0$，所以前后是独立的问题。

后面只需要 b 单调不增，这个是经典结论，$\text{C}(len+V,len)$。（花絮：打牛客时碰到这个东西，放平方过就打了个 dp，赛后发现题解用了组合数，于是就记住了）

前面的 $O(n^2)$ 前缀和优化 dp 也非常显然，然后就有 64pts 了。这也是我的最终分数。

赛后我惊讶的发现，有些人和我是相反的。只能说太神奇了。

注意到我们前面优化 dp 时根据 a 推出了上一个 b 的范围。

写出的式子化简后变成：$b_i-b_{i-1}\le a_i-a_{i-1}$。

这个时候转化成差分，然后根据 $b$ 数组和其差分构成双射，就做完了。

观察能力为 0？

T3

待会写。

$S=2$ 时对于每一行连接 $(a_{i,1},a_{i,2})$，正反方向表示在左边还是右边。

神奇地发现最后让每个数出入度相等/差 1 即可，跑欧拉回路。

对于差 1 的情况就加个源点连向奇数点即可。由于一条边加入的度数是 2，所以整个图度数是偶数，也就是有偶数个奇点，所以源点最后度数也是偶的。

分治是因为 m 是二次幂，并且尝试拓展 $S=2$ 的思路。

如果我们随便把一列钦定到另外一列（如果跨越 mid 交换），这成立吗？

证明考虑：如果这一列某些要交换的数都去到了另外一列，这是显然没有必要的，因为我们可以在分治这一边的时候再交换原来的一列和另外的一列，分治另一边同理。

所以每次分治都做 $S=2$ 的情况即可。

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拓展

这种类型的题目还有：CF429E 和 CF547D。没做过所以考场上不会情有可原

后面那个题一眼 $x\to y$ 连边，差不多就和 T3 一样了。

前面那个题显然你不能每个线段向点连边，不然这些边的定向可能不一样就矛盾了。

转化成差分，连边 $l\to r+1$。

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T4

直接记忆化搜索就可以获得 64pts，我们是优秀的暴力。

T4 做题过程：挨着题有 24 暴力 -> 36 -> wc 20000 刚好放平方过！(48) -> A 可过(56) -> 测了 B 的大洋例发现过了！(64)。

结论：

若 $[l,r]$ 和 $[l^{\prime },r^{\prime }]$ 的并是 $[L,R]$，且交不为空，那么 $f^k(L,R)=f^k(l^{\prime },r^{\prime })\bigcup f^k(l,r)$。

先证明：$f(L,R)=f(l^{\prime },r^{\prime })\bigcup f(l,r)$。

因为 $[l,r],[l^{\prime },r^{\prime }]$ 值域有交，所以交的那些值域中 $[mn,mx]$ 都是存在于 $f(L,R)$ 中的。另外 2 部分的 $[mn,mx]$ 和交的部分拼起来就是 $[L,R]$ 的答案。

k 次方呢？对于后面部分，由于一次过后他们相交，故第二次的时候他们本来是相交的，运用上面的结论一直做还是相交的。

对于前面部分，我们可以设最后是 $[mn,mx]$，容易证明后面的区间也一定能取到 $mn,mx$。

根据类似的证明可以得出结合律，于是 $f^k(L,R)=\bigcup _{i\in S}{f}^k(l_i,r_i)$。

先用倍增求出：$dp(k,j,i)$ 表示 $l=i,r=i+2^j-1$ 的 $(l,r)$ 进行 $2^k$ 次次方过后的区间，根据 $f^{2^k}=f^{2^{k-1}}(f^{2^{k-1}}(l,r))$ 转移即可，因为我们知道 $f^{2^{k-1}}$ 的 $(l,r)$，所以很好解决。

考虑 st 表合并的时候两个区间是一定相交的，就做完了。这题真神，喷不了。

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不管是打比赛还是做练习，每一道题都要有：

1.思维过程(细心读题、大致思考、认真草稿)

2.书写过程(仔细打代码，做到打了就不会出现低级错误)

3.检查过程(算法正确性的检查、时空复杂度的检查、重要的题目在有时间的情况下一定对拍)

4.总结过程(遇到很妙的题、总是犯错误的知识点，做到总结及举一反三)

如果平时训练也能这样严格执行，时间久了，你一定会受益匪浅！加油！