9.20 斜率优化复习

看我之前写的狗屎：https://www.becoder.com.cn/article/11836。

当时根本就不懂斜率优化是什么。

今天真的懂了，来写总结。

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1 问题转化

对于一类 dp 方程式：$f(i)=min\{f(j)+A(j)\ast g(i)+B(j)+t(i)\}$。可以用斜率优化。

设 $b=f(i)-t(i)$。把当前 dp 转移当成是一条斜率为 $k(x)$ 的动直线（$b$ 未知），容易知道我们需要让 $b$ 最小。

考虑把每个 $j$ 的转移点当成平面上的一个点，当前直线在 $j$ 处的 $b$ 就是转移结果。此时根据基础函数知识：

$Y(j)=k(x)\ast X(j)+b$。

那么当前转移就有“当前点数”种转移，每个点我们都能算出对应的 $b$，取最小值即可。

换一种等价描述：将一条斜率为 $k$ 的直线从下向上移动，碰到的第一个点处的 $b$ 就是当前转移答案，即 $f(i)$。

由于现在经过了之前的一个决策点，所以 $f(i)$ 一定能取到这个点。

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2 解决方法

2.0 分讨

就是根据加入的 $x$ 是否单调进行讨论。如果单调则有更简单的做法。

2.1 李超

我们再把问题转化一下，我们考虑把点变成直线，即：$(X(j),Y(j))$ 变成 $y=k(j)x+b(j)$。其中 $k(j)=X(j),b(j)=Y(j)$。

然后 $y=f(i)$，$x$ 就是和 $i$ 有关的数，整个式子大致还原了 dp 方程式。

对于决策点，我们就在对应区间加入一条直线；转移，就查询区间内的所有线段在 $x$ 点的取值的最小值。这个可以李超维护。

对于一般的问题，对应的区间都是全局，所以李超树可以很好写。

比如在 Machine Works 一题中，为了避免动态开点的大常数，我们考虑还是维护 $[1,n]$ 的点，离散化即可。（一开始还是对 $d$ 排序）

2.2 最难理解的单调队列

这玩意最容易打挂最不好调（个人向），不如李超。

还是把决策点当成是点，画图得知要维护一个上凸壳。这是一个 slope 问题，如果 x 连续就可以单调队列维护相邻两个的斜率使之单调。

查询呢，我们必然从端点开始，并且不断地删除端点，必须保证以后查询一定不会使用他们。所以还要保证我们的斜率是单调的。

2.2.ex

如果斜率不单调？

还是单调队列维护凸壳，决策点二分找即可。

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3 总结

李超 yyds！