9.19 abc371补题 & map 在 dp 上的妙用

昨天的也一起写了。

abc371F：两种做法。等差数列线段树和 ODT。两种做法实现难度相同，不过后者似乎要快很多。

花 1 个小时复习了 ODT 怎么打，他复杂度正确的原因是因为每次 query(l, r) 过后马上进行了 assign。然后就是基础的 split 和 getpos 操作，记得给边界插入 set。

线段树也是维护三元组 【l, r, pos】 表示左右 id。如果有区间操作的话 lzy 就是 pos 表示等差数列的第一项。每次下传标记记得去右儿子的时候把 lzy 加 lenLS，然后一个线段树节点就是由多个等差数列构成。

注意不要写动态开点的线段树，非常容易 TLE。

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abc317G：这玩意场上想了一半正解。

考虑到正式考试不可能高精度，所以我们使用正常算法。

这个东西本质上是多个同余方程合并，每次在合法解里面贪心选，显然 lcm 作为模数需要高精度。

注意到如果：$(m_1,m_2)=1$，则必然可以满足。所以我们要对所有 $m$ 之间的 gcd 来考虑是否满足，eg：$\mathrm{mod}2=1,\mathrm{mod}4=0$ 显然无解。

又能够想到质数拆分，如果对于所有质数来判断一定是等价的。而质数因数个数显然是亚根号级别。

所以我们顺序遍历每个环，记录环长 $l$，然后枚举换上第一个应该是本来的第 $i$ 个，容易发现这样子要转 $x=l-i$ 次。那么我们就判断可行即可。

对 $l$ 的所有质因子考虑（这里考虑所有 $m_i^{a_i}$ 形式），容易发现等价转化后 $x\mathrm{mod}{m}_i^{a_i}$ 这个值在所有环上都一样，所以对每个因数记录一个 mod 值即可。

最后贪心选每个环第一个位置最小的即可。复杂度线性根号，远远跑不满。

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[SCOI2013] 数数：经典题。

$nu{m}_i$：以 $i$ 结尾的所有数的个数。

$le{n}_i$：……的所有数的长度的和。

$su{f}_i$ 以 i 结尾的所有后缀的数的和。

$q_i$：到 i 的总共答案。

考虑放在递推形数位 dp 中，加上 0/1 限制数位即可。代码细节特别多。

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[NOIP2021] 方差：场上估计 60~90min 做出来。

这个操作形式不太规整。观察到差分过后一次操作就是交换前后的差分值！所以问题就变成了重新排列差分数组，使得最终的数组方差最小。

方差拆完之后要维护 sumai 和 sum(ai^2)。

然后我们猜测怎么排列差分数组。

注意到差分值单谷 c，这个东西根据我们的暴力跑出来就发现了。
感性理解？肯定是抛物线式的，因为这样才会平均，画一下图就知道单谷显然更好。

知道这个过后呢，排序过后相当于我们是进行一个插在左右两边的区间 dp 了，其实是序列 dp。
wc，dp 状态里面记录 suma，维护 $\sum a{i}^2$ 的最大值！这样就做完了。
dp 从最小的点开始，刷表法转移。

发现这玩意过不了最后一个点，因为 suma 是 $nV$ 级别。所以我转移直接遍历 map 来转移可行状态，发现多一个 log 但是过了。

题解说 $V<<n$，差分值等于 0 的很多，没有贡献，所以相当于 n 变成了 V。其实都是省掉了没用的状态，好像 map 综合表现是更优。

打 map 优化是因为今天 T4 太神了，从那里学来的东西。

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Mod Mod Mod

首先典：一次有效模运算 /= 2。

然后使用调整法，得知一定存在一个 $x$ 卡到 $a_i$ 的上界位置，否则加 1 显然更优。

于是这就证明了合法的状态数至多只有 $n\log V$ 个。

像上面一样用 map 记录 dp 数组进行转移，一种是直接 mod ai，一种是直接变成 ai+1 - 1。注意 dp 状态记录的是大于等于 $j$ 的代价和。

注意循环的时候要这样写：st.erase(it++)。nb 实现。

又不得不提到一道还是 map 的不规则时间复杂度做法的题。

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「agc020E」Encoding Subsets

在这里我们 dp 的状态是字符串。

这里的计数方法是非常典的。不多讲。还是钦定最前面一段不是合并类型的合法，后面随便类型的合法，乘起来即可。

关于不是合并的合法的计算，注意到子集就是循环节里面的字符串取 min，此时本来要区间 dp，但是直接字符串记忆化掉了，nb。

对了，这个题还用到了两个函数的相互调用，nb。