Day Inf【3、12~24】

合集 - NOIP2024 知识点复习(11)

1.『单调栈和单调队列』Day12024-08-072.『线段树』Day2 - 嘿嘿黑黑黑2024-08-083.『扫描线』Day52024-08-124.『区间最值操作 & 区间历史最值』Day62024-08-135.『线段树合并』Day72024-08-156.『dsu、Trie』Day82024-08-167.『dfn、树剖杂项』Day92024-08-168.『树的直径、重⼼』Day102024-08-209.『网赛总结』Day112024-08-21

10.Day Inf【3、12~24】2024-09-06

11.Day 32 数位 dp & Day 33 Dp 优化2024-09-18

收起

Day3

列队：注意到学生的相对顺序不会变，然后你可以区间查询然后线段树二分加一点点简单的贡献计算解决。

可持久化串串：对 Trie 倍增，维护跳 nxt 的过程，如果 nxt 走的不超过一半，则这个串的后缀必然有循环节，跳过这些循环节找到最前面不规则那一段即可。

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Day12

新知识：Dsu on tree。

在计算树上路径问题中，亦可使用点分治。

思想就是每次只保留重儿子的信息且回溯给父亲，其它点的信息暴力计算然后最后删除。如果是路径问题，记得加入一个子树过后要统一计算一次答案。

复杂度是线对，证明考虑一个点被暴力加的次数为对数次即可（假设加入删除复杂度均摊 $O(1)$）

void Dfs(int x, int y, bool f) { 
	for(int to : G[x]) {
		if(to == y or to == son[x]) continue ;
		Dfs(to, x, 0);
	} 
	if(son[x]) Dfs(son[x], x, 1); 
	for(int to : G[x]) {
		if(to == y or to == son[x]) continue ;
		for(int i = L[to];i <= R[to]; ++i) add(ifn[i]);
	}
	add(x);
	ans[x] = get();
	if(!f) {
		for(int i = L[x];i <= R[x]; ++i) del(ifn[i]); 
		maxn = sum = 0;
	}
}

至于习题，注意 >= k 的信息数组也是可以计算的。

Digit Tree：显然你考虑 LCA，然后路径分为上升段和下降段，我们在 dsu 的时候钦定了 LCA，枚举 x，那么用 map 记录之前加入的 y 的信息即可。

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Day13

Deblo：拆位树上路径算贡献，简单题。

Ridiculous Netizens：树上依赖背包，考虑点分治计算所有点作为中心的答案，同时保证复杂度线对。至于背包部分，考虑根号分治，当 $V\ge \sqrt{m}$ 的时候改成记录 $m/V$ 即可，保证了状态数是 $\sqrt{m}$ 级别。

感染：点分治优化前缀优化建图。容易发现一个点能连出去的点是树上是联通的，但是 dfn 不一定连续，但是如果点分治过后就是在一条路径上了。就是看新图中有多少点 in = 0。

考虑每个点拉出子树内所有点，按照 dis 排序然后连边，不用考虑同一条链上互相连边算重的情况，这并不影响。容易发现每个点练出去的都是一段前缀。直接前缀优化建图。

很好证最终边数在线对级别。

幻想乡战略游戏：点分树优化找重心的过程。选点分树根开始，向所有儿子走，判断移动是否优（唯一性）。这个判断就点分树上跳 fa，容斥掉 fa 在来源点的贡献。

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Day14

Empty Rectangles：分治到中线 $mid$（行），枚举列 $l,r$。发现每个 $k$ 都有一个行决策点。所以维护指针移动预处理，然后合并上下信息即可，复杂度 $O(m^{2}k\log n)$。

拦截导弹：三维偏序的 dp，用 cdq 套 bit 优化 dp。由于计算方案数，所以倒着再 dp 一次算出 i 作为起点的最大值方案数，和终点合并即可。

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Day??? 初三杂题巩固

通配符匹配：显然分成多个分配符的段进行 dp，转移有 3 种，条件都是哈希判断，有一个 ? 的转移要前缀和优化。

稻草人：晚测，按照 y 的顺序加入点，就是线段树维护丹钓战的板子，虽然我不是很熟。。

赛道修建：显然一个子树只能上传 1 个有效路径，并且每次我们需要子树贪心地合并。贪心考虑从小的开始匹配。

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Day17

矩阵乘法：整体二分，矩阵就是 01 的。

Sequence 数字序列：首先所有数减去 $i$ 变成不严格旦增。二分的时候计算 2 个边界点的答案。

接水果：套了个二维偏序，注意第一维要强制小于第二维。对于时间轴我们要预先排序。

网络：判断一个点是否被完全覆盖。

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Day18

炸弹：显然 ds 优化建图。缩点之后跑一个反向图的 dp，记录 L,R 即可。

PUS：一眼，限制只会划分成 $O(k)$ 个段，考虑这 $k$ 个点连向这些段，建一个虚点连向这些点，然后这个虚点用 ds 建图连向这些段即可，最后还是简单 dp 一下。

Tax：先考虑所有边都是出边，那么我们排序过后依次连边。又考虑入边，直接连向反边，边权为 0。想到这里自然地把边给变成点。建图很有网络流的味道。

Duff in Mafia：https://www.becoder.com.cn/article/15997

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Day20

选举：显然所有 B 要先选，所以按照 b 排序，答案就是一段后缀全部选 a，前缀选一些 b，这玩意可以枚举选 b 的个数，然后 dp。

有趣的家庭菜园 2：前后互不影响，所以可以合并前后缀答案，线段树优化 dp。

有趣的家庭菜园 3：$f(i,j,k,0/1/2)$ 表示前 $i$ 个合法，当前是什么元素，我们考虑此时第 $j$ 个 op 元素在当前状态下在什么位置，以及 $j$ 这个地方考虑一下另外两个 op 的移位带来的影响。（显然相同元素相对顺序不会变）

配对游戏：对每一位算贡献，本质是长为 $n-i$ 的随机 $1/-1$ 序列前缀最小值不小于 0 的概率，或者可以直接按照题意 dp 转移。

Phoenix and Computers：1. 连续段 dp，很好写。

2.考虑在序列后面加入一段全部是手动开启的电脑段（一），然后中间间隔一个电脑来自动开启。转移系数就是相对顺序的交。然后还要算一下（一）的方案数。（枚举第一个操作位置，两边操作相对顺序固定，合并代价是组合数。这些组合数相加是一个 2 的幂）

Od deski do deski：$dp(i,j,0/1)$ 表示 $len=i$，前面 $[1,x]$ 的合法位置有 $j$ 个，当前是否是合法的，转移很简单。一般这种题都要升维。0/1 也是常规。

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Day21

Tree：首先要选联通的。然后结论：边权和 - 直径。所以这个树背包算一下就可以了。

贪玩蓝月：删除操作很麻烦因为两端插入没办法维护前缀，考虑双栈维护前缀。现在考虑一个栈空了怎么办。一种方法是把另一个栈一半搬过来然后重新预处理。定义势能函数：$F=|siz1-siz2|$，一次插入/删除使势能变 $1$，消耗 $O(p)$。一次重构消耗 $O(Fp)$，让势能清 0，也就是变化 $F$。所以这样分析下来消耗 1 势能的代价是 $O(p)$。

合并的时候枚举一边 V，另一边用 st 表求区间 dp 最大值。

Polarization：最小值考虑每一层边方向一样，下一层方向取反。这样就是 $n-1$。考虑最大值，结论是选择重心，子树一些点全部向上，其余向下。(感性证明，如果你多个点这样的话贡献是不如一个点的)

那么现在就是背包合并所有子树的 siz。这是经典问题，用 bitset 优化可以 $O(n^2/w)$。但是这个题比较特殊，$siz$ 和是 $O(n)$ 级别，考虑根号分治。如果个数太多了，可以通过把一个 $V$ 较小的物品的 $cnt$ 二进制拆分给那些大的 $2^{k}V$ 的数，复杂度 $O(\mathrm{肯}\mathrm{定}\mathrm{能}\mathrm{过})$。

苹果树：明显选择一个叶子结点。然后做树上依赖背包。（可以先做一次 01 背包，再做多重背包，解决强制的问题）对一条链做前后缀的依赖，合并前后缀背包。（不妨后缀不选链，前缀选链）

弗雷兹的玩具商店 / Toyshop：$m<60$ 就很奇怪啊。体积只有 60 种，明显只保留每个体积的 max 就行了。这个东西用线段树维护，每个节点存长度为 $m$ 的数组。每个操作形如区间移动，区间加。询问就把 $m$ 个物品取出来暴力 dp 即可。

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Day22

字符串折叠：区间 dp，特殊处理一个区间全部循环节的贡献。

Jumping sequence：很明显还是要转坐标轴使得 $x,y$ 独立吧。然后就是一些讨套路处理。

梦幻岛宝珠：$b\le 10$，首先我们可以给每个 $b$ 做背包，最后类似倍增并查集一样合并即可。如果记录剩下多少个那么上界就是 10n 级别。

波浪：连续段 dp，需要钦定左右是否碰到了边界，输出是勾石。

Elevators of Tamem：把 $n$ 变成 $q$，然后注意这一位一定有一维是 now，然后枚举哪一位是 lst 转移即可做到单次 $O(q^2)$。

New Year Shopping：线段树分治板题。删除操作就存背包数组即可。

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Day23

括号序列：肯定要记录全是 * 的段，合法段，SA，AS 段，转移简单。但是合并会算重，所以强制合并合法串有一个是 (A) 类型的。

甲虫：发现可能走到后面露水负数了，所以我们还要钦定最终走到了 $k$ 个露水，贡献就可以算了。

方块消除：显然要加维，表示后面加上和 $co{l}_r$ 颜色一样的数量。转移条件是 $co{l}_{mid}=co{l}_r$。

Coins Exhibition：可以容斥，但是我们可以对每段 dp，0/1/2 表示全 0/1，01 都有。转移 0/1 的时候就找到上一个 0/1 然后算一个后缀和即可。

Encoding Subsets：确定字符串 dp 很好做，3 次方即可，考虑子集。发现给循环节个字符串取交就是我们要求的东西（单个没有合并的），但是这玩意没法定义状态。不妨把字符串当做状态。然后简单。复杂度不是多项式刻画，能过。

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Day24

Paint：显然可以合并成 $r$ 的颜色，然后简单 dp。保证了 $k$ 最多 20 个。

Candles：和昨天的题有所区别，可能中间是负数，那么我们状态加入【外面还剩多少个计算即可】。

字符合并：1：区间合并，按照不算重的套路，钦定后面只接入 0/1；2：整个区间操作，肯定最后只剩下一个 1，经典结论：$n-1\equiv 0(\mathrm{mod}k-1)$，要加入辅助数组。整个串都合并成 0/1。1 的复杂度太高需要优化，发现后面能接入 0/1 的点都必须通过 2 合并，于是每次就移动 $k-1$，能过。

Split and Insert：正难则反想到了，最终相当于要升序，操作变成将一段子序列移到后面去，这个东西刻画到值域上就好做了。显然我每次要把区间里面最大的数放到后面去，所以 $d{p}_{t,l,r}=d{p}_{t+1,l,x}+d{p}_{t+1,x+1,r}+(r-x)\times c_t$，类似 01 背包，我们从大到小枚举 $len$，做 $k$ 次 dp 即可，这杨甚至可以省掉第一维。注意预处理最大值域上升段。

Chords：经典容斥。枚举断点，钦定前面一段合法/联通，后面全部内部连边。现在看起来确实显然 (9.17)。