Day Inf【3、12~24】
Day3
列队：注意到学生的相对顺序不会变，然后你可以区间查询然后线段树二分加一点点简单的贡献计算解决。
可持久化串串：对 Trie 倍增，维护跳 nxt 的过程，如果 nxt 走的不超过一半，则这个串的后缀必然有循环节，跳过这些循环节找到最前面不规则那一段即可。
Day12
新知识：Dsu on tree。
在计算树上路径问题中，亦可使用点分治。
思想就是每次只保留重儿子的信息且回溯给父亲，其它点的信息暴力计算然后最后删除。如果是路径问题，记得加入一个子树过后要统一计算一次答案。
复杂度是线对，证明考虑一个点被暴力加的次数为对数次即可（假设加入删除复杂度均摊 \(O(1)\)）
void Dfs(int x, int y, bool f) {
for(int to : G[x]) {
if(to == y or to == son[x]) continue ;
Dfs(to, x, 0);
}
if(son[x]) Dfs(son[x], x, 1);
for(int to : G[x]) {
if(to == y or to == son[x]) continue ;
for(int i = L[to];i <= R[to]; ++i) add(ifn[i]);
}
add(x);
ans[x] = get();
if(!f) {
for(int i = L[x];i <= R[x]; ++i) del(ifn[i]);
maxn = sum = 0;
}
}
至于习题，注意 >= k 的信息数组也是可以计算的。
Digit Tree：显然你考虑 LCA，然后路径分为上升段和下降段，我们在 dsu 的时候钦定了 LCA，枚举 x，那么用 map 记录之前加入的 y 的信息即可。
Day13
Deblo：拆位树上路径算贡献，简单题。
Ridiculous Netizens：树上依赖背包，考虑点分治计算所有点作为中心的答案，同时保证复杂度线对。至于背包部分，考虑根号分治，当 \(V\ge \sqrt m\) 的时候改成记录 \(m/V\) 即可，保证了状态数是 \(\sqrt m\) 级别。
感染：点分治优化前缀优化建图。容易发现一个点能连出去的点是树上是联通的，但是 dfn 不一定连续，但是如果点分治过后就是在一条路径上了。就是看新图中有多少点 in = 0。
考虑每个点拉出子树内所有点，按照 dis 排序然后连边，不用考虑同一条链上互相连边算重的情况，这并不影响。容易发现每个点练出去的都是一段前缀。直接前缀优化建图。
很好证最终边数在线对级别。
幻想乡战略游戏：点分树优化找重心的过程。选点分树根开始，向所有儿子走，判断移动是否优（唯一性）。这个判断就点分树上跳 fa，容斥掉 fa 在来源点的贡献。
Day14
Empty Rectangles：分治到中线 \(mid\)（行），枚举列 \(l,r\)。发现每个 \(k\) 都有一个行决策点。所以维护指针移动预处理，然后合并上下信息即可，复杂度 \(O(m^2k\log n)\)。
拦截导弹：三维偏序的 dp，用 cdq 套 bit 优化 dp。由于计算方案数，所以倒着再 dp 一次算出 i 作为起点的最大值方案数，和终点合并即可。
Day??? 初三杂题巩固
通配符匹配：显然分成多个分配符的段进行 dp，转移有 3 种，条件都是哈希判断，有一个 ? 的转移要前缀和优化。
稻草人：晚测，按照 y 的顺序加入点，就是线段树维护丹钓战的板子，虽然我不是很熟。。
赛道修建：显然一个子树只能上传 1 个有效路径，并且每次我们需要子树贪心地合并。贪心考虑从小的开始匹配。
Day17
矩阵乘法：整体二分，矩阵就是 01 的。
Sequence 数字序列：首先所有数减去 \(i\) 变成不严格旦增。二分的时候计算 2 个边界点的答案。
接水果：套了个二维偏序，注意第一维要强制小于第二维。对于时间轴我们要预先排序。
网络：判断一个点是否被完全覆盖。
Day18
炸弹：显然 ds 优化建图。缩点之后跑一个反向图的 dp，记录 L,R 即可。
PUS：一眼，限制只会划分成 \(O(k)\) 个段，考虑这 \(k\) 个点连向这些段，建一个虚点连向这些点，然后这个虚点用 ds 建图连向这些段即可，最后还是简单 dp 一下。
Tax：先考虑所有边都是出边，那么我们排序过后依次连边。又考虑入边，直接连向反边，边权为 0。想到这里自然地把边给变成点。建图很有网络流的味道。
Duff in Mafia：https://www.becoder.com.cn/article/15997
Day20
选举：显然所有 B 要先选，所以按照 b 排序，答案就是一段后缀全部选 a，前缀选一些 b，这玩意可以枚举选 b 的个数，然后 dp。
有趣的家庭菜园 2：前后互不影响，所以可以合并前后缀答案，线段树优化 dp。
有趣的家庭菜园 3：\(f(i,j,k,0/1/2)\) 表示前 \(i\) 个合法，当前是什么元素，我们考虑此时第 \(j\) 个 op 元素在当前状态下在什么位置，以及 \(j\) 这个地方考虑一下另外两个 op 的移位带来的影响。（显然相同元素相对顺序不会变）
配对游戏：对每一位算贡献，本质是长为 \(n-i\) 的随机 \(1/-1\) 序列前缀最小值不小于 0 的概率，或者可以直接按照题意 dp 转移。
Phoenix and Computers：1. 连续段 dp，很好写。
2.考虑在序列后面加入一段全部是手动开启的电脑段（一），然后中间间隔一个电脑来自动开启。转移系数就是相对顺序的交。然后还要算一下（一）的方案数。（枚举第一个操作位置，两边操作相对顺序固定，合并代价是组合数。这些组合数相加是一个 2 的幂）
Od deski do deski：\(dp(i, j, 0/1)\) 表示 \(len = i\)，前面 \([1, x]\) 的合法位置有 \(j\) 个，当前是否是合法的，转移很简单。一般这种题都要升维。0/1 也是常规。
Day21
Tree：首先要选联通的。然后结论：边权和 - 直径。所以这个树背包算一下就可以了。
贪玩蓝月：删除操作很麻烦因为两端插入没办法维护前缀，考虑双栈维护前缀。现在考虑一个栈空了怎么办。一种方法是把另一个栈一半搬过来然后重新预处理。定义势能函数：\(F = |siz1 - siz2|\)，一次插入/删除使势能变 \(1\)，消耗 \(O(p)\)。一次重构消耗 \(O(Fp)\)，让势能清 0，也就是变化 \(F\)。所以这样分析下来消耗 1 势能的代价是 \(O(p)\)。
合并的时候枚举一边 V，另一边用 st 表求区间 dp 最大值。
Polarization：最小值考虑每一层边方向一样，下一层方向取反。这样就是 \(n-1\)。考虑最大值，结论是选择重心，子树一些点全部向上，其余向下。(感性证明，如果你多个点这样的话贡献是不如一个点的)
那么现在就是背包合并所有子树的 siz。这是经典问题，用 bitset 优化可以 \(O(n^2/w)\)。但是这个题比较特殊，\(siz\) 和是 \(O(n)\) 级别，考虑根号分治。如果个数太多了，可以通过把一个 \(V\) 较小的物品的 \(cnt\) 二进制拆分给那些大的 \(2^kV\) 的数，复杂度 \(O(肯定能过)\)。
苹果树：明显选择一个叶子结点。然后做树上依赖背包。（可以先做一次 01 背包，再做多重背包，解决强制的问题）对一条链做前后缀的依赖，合并前后缀背包。（不妨后缀不选链，前缀选链）
弗雷兹的玩具商店 / Toyshop：\(m<60\) 就很奇怪啊。体积只有 60 种，明显只保留每个体积的 max 就行了。这个东西用线段树维护，每个节点存长度为 \(m\) 的数组。每个操作形如区间移动，区间加。询问就把 \(m\) 个物品取出来暴力 dp 即可。
Day22
字符串折叠：区间 dp，特殊处理一个区间全部循环节的贡献。
Jumping sequence：很明显还是要转坐标轴使得 \(x,y\) 独立吧。然后就是一些讨套路处理。
梦幻岛宝珠：\(b\le 10\)，首先我们可以给每个 \(b\) 做背包，最后类似倍增并查集一样合并即可。如果记录剩下多少个那么上界就是 10n 级别。
波浪：连续段 dp，需要钦定左右是否碰到了边界，输出是勾石。
Elevators of Tamem：把 \(n\) 变成 \(q\)，然后注意这一位一定有一维是 now，然后枚举哪一位是 lst 转移即可做到单次 \(O(q^2)\)。
New Year Shopping：线段树分治板题。删除操作就存背包数组即可。
Day23
括号序列：肯定要记录全是 * 的段，合法段，SA，AS 段，转移简单。但是合并会算重，所以强制合并合法串有一个是 (A) 类型的。
甲虫：发现可能走到后面露水负数了，所以我们还要钦定最终走到了 \(k\) 个露水，贡献就可以算了。
方块消除：显然要加维，表示后面加上和 \(col_r\) 颜色一样的数量。转移条件是 \(col_{mid}=col_r\)。
Coins Exhibition：可以容斥，但是我们可以对每段 dp，0/1/2 表示全 0/1，01 都有。转移 0/1 的时候就找到上一个 0/1 然后算一个后缀和即可。
Encoding Subsets：确定字符串 dp 很好做，3 次方即可，考虑子集。发现给循环节个字符串取交就是我们要求的东西（单个没有合并的），但是这玩意没法定义状态。不妨把字符串当做状态。然后简单。复杂度不是多项式刻画，能过。
Day24
Paint：显然可以合并成 \(r\) 的颜色，然后简单 dp。保证了 \(k\) 最多 20 个。
Candles：和昨天的题有所区别，可能中间是负数，那么我们状态加入【外面还剩多少个计算即可】。
字符合并：1：区间合并，按照不算重的套路，钦定后面只接入 0/1；2：整个区间操作，肯定最后只剩下一个 1，经典结论：\(n-1\equiv 0 \pmod {k-1}\)，要加入辅助数组。整个串都合并成 0/1。1 的复杂度太高需要优化，发现后面能接入 0/1 的点都必须通过 2 合并，于是每次就移动 \(k-1\)，能过。
Split and Insert：正难则反想到了，最终相当于要升序，操作变成将一段子序列移到后面去，这个东西刻画到值域上就好做了。显然我每次要把区间里面最大的数放到后面去，所以 \(dp_{t,l,r}=dp_{t+1,l,x}+dp_{t+1,x+1,r}+(r-x)\times c_t\)，类似 01 背包，我们从大到小枚举 \(len\)，做 \(k\) 次 dp 即可，这杨甚至可以省掉第一维。注意预处理最大值域上升段。
Chords：经典容斥。枚举断点，钦定前面一段合法/联通，后面全部内部连边。现在看起来确实显然 (9.17)。
