『树的直径、重⼼』Day10

合集 - NOIP2024 知识点复习(11)

1.『单调栈和单调队列』Day12024-08-072.『线段树』Day2 - 嘿嘿黑黑黑2024-08-083.『扫描线』Day52024-08-124.『区间最值操作 & 区间历史最值』Day62024-08-135.『线段树合并』Day72024-08-156.『dsu、Trie』Day82024-08-167.『dfn、树剖杂项』Day92024-08-16

8.『树的直径、重⼼』Day102024-08-20

9.『网赛总结』Day112024-08-2110.Day Inf【3、12~24】2024-09-0611.Day 32 数位 dp & Day 33 Dp 优化2024-09-18

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Drazil and Morning Exercise

$f$ 可以换根求。

对于一段乱序序列，你不好求其中 max - min 的限制。

根据重心的性质，如果你让重心为 root，那么向下 $f$ 一定单减。

这样，你就对每个点在末尾的情况，树上倍增找到最大的点，树上差分即可。

现在想到了好像可以线段树合并，那么你当前点就作为 min，直接在 ds 里面找一个 max 即可。

他们并查集怎么做的没看懂好像。

Weighed Tree Radius

转化：设 $d=max\{dis(x,y)+a_x+a_y\}$，那么 $r=d/2$。

证明显然？因为中间路径上边权是 1，你一定可以调整使得 Root 在路径中间，否则肯定是只能选择 $(x,x)$ 作为直径。

或者说，$d$ 的定义就很有直径的性质，在 $d$ 上取中点一定会让 max 距离更小。

所以定义一个广义直径即可，然后动态树直径即可，考虑维护直径端点。

树的重心

考虑每个点作为重心的次数。

式子很好推，注意到 $S$ 的大小并不好维护，一会是 $siz$ 一会是 $n-siz$。

而且你需要保证 $S$ 是在子树外面的。

首先 $n-siz$ 是好算的，只可能出现在上链上，进入时更新，回溯时取消即可，现在来看 $S$。

不妨先全局给 $siz$ 加入，每次维护子树进入和出去后的差，就可以知道这个子树的 $S$ 信息，减去即可。注意全局的 siz 也要更新的。

最后，对 $x=rt$ 的情况特判。

Logistical Questions

求导来决定向哪里走，点分治保证复杂度。

晚测：NOIP2015 运输计划

一眼二分答案。

把长度满足的路径直接去掉，我们显然需要去掉剩下的所有路径的公共路径，并且取最大的一条。

包含所有路径可以树上差分判断，注意用 dfn 代替递归实现要快好几倍。还有，树剖求 lca。

Good Sequences (added on 8.21)

pudding monster 的加强版。

每次维护的是 $r$ 的答案，要维护 $r$ 的历史和，加个标记就可以。