『树的直径、重⼼』Day10

Drazil and Morning Exercise

\(f\) 可以换根求。

对于一段乱序序列，你不好求其中 max - min 的限制。

根据重心的性质，如果你让重心为 root，那么向下 \(f\) 一定单减。

这样，你就对每个点在末尾的情况，树上倍增找到最大的点，树上差分即可。

现在想到了好像可以线段树合并，那么你当前点就作为 min，直接在 ds 里面找一个 max 即可。

他们并查集怎么做的没看懂好像。

Weighed Tree Radius

转化：设 \(d=\max \{ dis(x,y)+a_x+a_y \}\)，那么 \(r=d/2\)。

证明显然？因为中间路径上边权是 1，你一定可以调整使得 Root 在路径中间，否则肯定是只能选择 \((x,x)\) 作为直径。

或者说，\(d\) 的定义就很有直径的性质，在 \(d\) 上取中点一定会让 max 距离更小。

所以定义一个广义直径即可，然后动态树直径即可，考虑维护直径端点。

树的重心

考虑每个点作为重心的次数。

式子很好推，注意到 \(S\) 的大小并不好维护，一会是 \(siz\) 一会是 \(n-siz\)。

而且你需要保证 \(S\) 是在子树外面的。

首先 \(n-siz\) 是好算的，只可能出现在上链上，进入时更新，回溯时取消即可，现在来看 \(S\)。

不妨先全局给 \(siz\) 加入，每次维护子树进入和出去后的差，就可以知道这个子树的 \(S\) 信息，减去即可。注意全局的 siz 也要更新的。

最后，对 \(x=rt\) 的情况特判。

Logistical Questions

求导来决定向哪里走，点分治保证复杂度。

晚测：NOIP2015 运输计划

一眼二分答案。

把长度满足的路径直接去掉，我们显然需要去掉剩下的所有路径的公共路径，并且取最大的一条。

包含所有路径可以树上差分判断，注意用 dfn 代替递归实现要快好几倍。还有，树剖求 lca。

Good Sequences (added on 8.21)

pudding monster 的加强版。

每次维护的是 \(r\) 的答案，要维护 \(r\) 的历史和，加个标记就可以。