『区间最值操作 & 区间历史最值』Day6

合集 - NOIP2024 知识点复习(11)

1.『单调栈和单调队列』Day12024-08-072.『线段树』Day2 - 嘿嘿黑黑黑2024-08-083.『扫描线』Day52024-08-12

4.『区间最值操作 & 区间历史最值』Day62024-08-13

5.『线段树合并』Day72024-08-156.『dsu、Trie』Day82024-08-167.『dfn、树剖杂项』Day92024-08-168.『树的直径、重⼼』Day102024-08-209.『网赛总结』Day112024-08-2110.Day Inf【3、12~24】2024-09-0611.Day 32 数位 dp & Day 33 Dp 优化2024-09-18

收起

1 势能

1.1

有一类之前就见过的操作。区间取模区间开方。

开方是说在 $\log \log B$ 次过后就不变了，所以这之前暴力即可。

取模则是说如果一个数能取模那么至少会减少一半，所以一个数最多暴力操作 $\log B$ 次就没了。对于一个区间你维护最大值看是否需要递归进行操作即可。

上面的复杂度都是 $O(\mathrm{暴}\mathrm{力}\times n\log n)$ 的。

1.2

区间开方，区间加，查询区间和。

为什么要按照 $max-min$ 的情况来？

因为我们直接用标记处理 $max-min\le 1$ 的情况。剩下暴力。

而每个区间暴力最多次数还是 $\log \log B$ 的，保证了暴力复杂度。

区间加，区间除，查询区间和，查询区间 min。

还是 max - min，考虑暴力复杂度。

因为你区间加是不会让 max - min 增多的，是 $\log$ 次。

1.3

尝试对上面的情况进行总结。

你设置一个分界情况，一边暴力，一边打标记（且可以打标记）；

只需要保证暴力的复杂度正确。

可以完成 T1。

查看他人代码发现没有处理区间覆盖，因为这种情况存在当且仅当之前 $max=min+1$，操作过后 $max=min$，而这种情况会暴力下去 $O(len)$ 次，消除 $O(len)$ 的势能。

而之前的势能一共是 $O(n\log n)$。

2 最值

结论：维护 Max, SecondMax；每次如果 Mintag < SecondMax 就暴力向下修改，否则可以直接改 Max。

感觉分析很乱，也许我曾经证出过，记结论。

3 历史版本

3.1

维护历史标记和当前标记，下传的时候子节点一定没有被这些标记标记过。（每次 pushup、pushdown 都需要传历史最值和当前）

更新的时候就把父亲的标记 $(x,y)$ 和儿子 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 合并即可。

说到标记，你可以把它写成多原组的形式，重定义广义下的 + 和 max。

注意，+ 不一定满足交换律；但一定满足结合律。

3.2

两种标记叠加的情况。

如果你同时有加法和覆盖标，标记都是加法，突然来了一个乘法；那么接下来你维护的标记就不能有加法了，直接把覆盖标加上即可。

4 习题

Picks hates segment tree

为什么还支持加法啊。

因为你一次减少势能使得 maxn 和 sex 消失了一个，而加法不会影响相对大小。

V

标记的广义运算。放代码上来：

struct sb {
	int x, y;
	sb () {}
	sb (int _, int __ ) { x = _, y = __; }
	sb operator + (sb t) { return sb(x + t.x, Max(y + t.x, t.y)); }
};
sb max(sb x, sb y) { return sb(Max(x.x, y.x), Max(x.y, y.y)); }

struct node {
	sb _, a;
} T[N << 2];

void upd(int p, sb _, sb t) { // 看成是，从父亲节点传下来的，历史最大值，和现在的 tag 
	T[p]._ = max(T[p]._, T[p].a + _); T[p].a = T[p].a + t;
}

序列

莫队移动。

可以按照最小值的区间线性 dp 计算，注意先考虑不规整的那一段。