推式子

与 \(n\) 互质且 < \(n\) 的数的和？

1. 欧拉函数

考虑 \(x\bot n, n-x\bot n\) 同时出现，所以每个数的平均贡献是 \(\frac{n}{2}\)。

所以是 \(\dfrac{n\varphi(n)}{2}\)。

2. 莫比乌斯函数

式子：\(\sum \limits_{i=1}^n i[\gcd(i,n)=1]=\sum \limits_{i=1}^n i \sum\limits_{d\mid (i,n)} \mu(d)\)

\[=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\sum_\limits{i=1}^ni[d\bot i] \]

\[=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\times d\times f(\dfrac{n}{d}) \]

其中 \(f(x)\) 表示 \(x(x+1)/2\)。

\[=\frac{1}{2}n\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)(\frac{n}{d}+1) \]

……小丑了，结论是一样的。

前面是 \(\mu*id=\varphi\)，后面是 \(\mu*1=\varepsilon\)。

\[=\frac{1}{2}n(\varphi(n)+[n=1]) \]