Part 2【反演、容斥、stiring 数】

1. 容斥

1.1 普通容斥

1.1.1

\[\left| \bigcup \limits _{i\in S} S_i \right| = \sum\limits _{T\subseteq S,T\neq\not\ni} (-1)^{|T|-1} \left| \bigcap\limits_{j\in T} S_j \right| \]

人话：所有满足任何一个条件的数的和 可以表示成：枚举一个子集，满足这个子集里的所有条件的数，加上 -1 次方的容斥系数。或者如下：

1.1.2 下标形式

把式子给成下标形式，后面的选出 \(|T|\) 个数就可以用 dp 等直接处理，而不是枚举子集。

换句话说，因为 \(|T'|\) 的容斥系数是一样的，所以我们可以把长度为 \(|T'|\) 的所有方案抽象地根据 dp，组合数等方法算出来。（根据元素的相似性），从而使得复杂度从指数变成线性次方。

1.1.3 只有 1.1.1，不满足！

如果要求：\(\left| \bigcap \limits _{i=1}^n S_i \right|\) 呢？

补集转化即可：减去所有至少一个不满足的容斥。

\[\left| \bigcap \limits _{i=1}^n S_i \right|=\left| U \right|-\left| \bigcup \limits _{i=1}^n \overline{S_i} \right| \]

这里用的是下标形式，而且这也是比集合更常见的形式。

1.1.4 一般形式：（大概没用）

考虑把集合大小改成任意函数。即若

\[f(S)=\sum\limits _{T\subseteq S}g(T) \]

那么有

\[g(S)=\sum\limits _{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]

1.1.5 应用

鸽。

1.2 Min-Max 容斥

鸽。

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2. 二项式反演

魏老师说这也是容斥。

2.0 前言——关于所有反演（包括容斥的一般形式）

我们有 2 种理解方式。

2.0.1 式子的形式

如果你的式子长得像某种反演，那么直接用公式即可。

2.0.2 组合意义

如果你求出了某个反演所需要的一个函数 \(f/g\)，你就可以用这个反演求出另一个函数。

2.1 形式

2.1.1 形式一

若 \(f(n)=\sum\limits _{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\)，那么 \(g(n)=\sum\limits _{i=0}^n (-1)^{n-i} \dbinom{n}{i}f(i)\)。

2.1.2 形式二

若 \(f(i)=\sum\limits _{j=i}^n\binom{j}{i}g(i)\)，那么 \(g(i)=\sum\limits _{j=i}^n (-1)^{j-i} \dbinom{j}{i}f(j)\)。

2.2 理解

如何通过组合意义理解上述 \(f,g\)？多数情况下是这样：

设 \(f\) 表示钦定有多少个，\(g\) 表示恰好。

摘录：

OI 界二项式反演的应用常结合动态规划：DP 求出钦定选择 \(i\) 个元素时的总方案，然后就可以通过二项式反演得到恰好选择 \(i\) 个元素时的方案数。

综上所述，我们总结出二项式定理的核心：通过二项式系数的容斥进行 “钦定” 和 “恰好” 的转换。

2.3 一种推式子的思路

设 \(g\) 为题目要你求的东西，你需要设计一个容易求得的 \(f\)，使之可以由 \(g\) 算出。

容易求得指的是不仅可以通过 \(g\) 算出，还要有另一种平凡的算法（式）。！！一般来说，\(f\) 设的是所有方案/钦定。

那么你就可以反演就出 \(g\) 了，其中 \(f\) 代入另一个式子。