二分图补充

电压

求奇环的边的交。

考虑 dfs 树,一条返祖边就意味着环。

维护边经过奇偶数量。

考虑经过一条返祖边,,会使得 xto 的路径上的边全部都在环里面,于是做一个树上差分,回溯的时候 fa+xfa 即可。

再考虑 dfs 树,发现所有的环都可以被统计到。

边染色

每个点出发的边都不同颜色。求最少颜色数。

任意图:设 W 为图中最大度数,则 α=W/W+1

二分图下的 vizing 定理α=W

给定一张二分图,左侧有 n 个点,编号为 1n,右侧有 m 个点,编号为 1m,有 k 条无向边。
给定 c,你需要将每条边染色为 [1,c] 中的一种颜色。现在,对于第 i 个点,我们定义它的代价为与 i 点相连的边中,出现最多的颜色数减去出现最少的颜色数(如果一种颜色没有出现,我们认为它的出现次数为 0)。
你需要构造一种方案,使得每个点的代价和最小。

拆点使得 degx=c,由于不影响这是个二分图,所以由 vizing 知一定可以染色。(W=c

考虑合并,W=c 的点答案是 0,但是你有一些 Dmodc 的点无法把颜色用完,所以肯定要各分配一个,就多出来了 1

所以答案就是 degx 不能整除 cx 个数。

构造方案:cf212a

柯尼希定理

什么名字。konig

  • 注意对于任意图,最小点覆盖 >= 最大匹配。

但是对于二分图是相等的。

最大独立集

  • 最大独立集 = n - 最小点覆盖。

好像现在可以感性理解上面两个东西了。()

  • 最大团 = 补图的最大独立集(也是显然)

最小链覆盖(DAG)

DAG 的最小链覆盖 = n - 二分图最大匹配。

注意这里链的相交/不交会影响二分图的建立。

不相交

考虑拆成入点和出点,连边。

相交

可以转化成不相交。

你就考虑 x1oy1x2oy2,虽然都经过 o,但是可以直接加一条边 x2y2 替换。

所以对图求一个传递闭包,所有可联通点加边,然后就和不相交一样了。

由于是 DAG,所以传递闭包可以按照拓扑序 O(n2w) 求。

证明

考虑一条边没有就是 n

这个图限制了一个点的出边和入边最多为 1

匹配一条边可以看做是合成了一条路径。

Dilworth定理

  • DAG 的最长反链大小等于最小链覆盖个数。

  • DAG 的最长链大小等于最小反链覆盖个数。

反链可以理解成补图上的链,即原图中互不联通的点。

这里链覆盖可以相交。

根据 Dilworth 定理可以把最长链大小和反链覆盖联系起来。

祭祀

求最长反链大小 = 最小链覆盖 = n - 最大匹配。

先来考虑一下第三问怎么求,考虑强制一个点选入反链。

在图中删去这个点和它能到达和被到达的点后,再求一遍答案,如果此时答案比第一问小 1,说明这个点可以选入答案。

2 根据 3 来走即可。

二分图博弈

游戏

考虑建二分图,如果是完全匹配那么一定后手剩。

因为完全匹配下,后手一定会走先手的点的匹配,而后手一定先走完。

考虑不完全匹配,先手可以走一个非特殊点,这样后手一定会走一个匹配下的点,先手选择这个点对应的匹配点。

只需要证明后手下一步走的点一定在最大匹配上。

这是比较显然的,可以考虑替换最大匹配边。

然后这个东西,对于任意最大匹配的所有非匹配点都是成立的。

Hall 定理

不会一点啊。

令左部点点数小于右边。

对于任意左部点的集合,如果满足所有 |S||N(S)|,那么二分图一定有完美匹配。其中 N(S) 是和 S 中的点相连的右部点的点集。

推论

  • 二分图的最大匹配为 min{|V1S|+|N(S)|},S 是左部点子集。

等价于:V1max{|S||N(S)|}

证明考虑转化成最小点覆盖即可。

看这些习题,发现 Hall 定理一般用于简化问题,实际上和最后的实现二分图匹配关系不大。(?)

HDU 6667

其实就是一个运用,等价成:Sumamax{|S||N(S)|}

分类讨论,使得 |S||N(S)| 尽量小。当 a 中选了 2 个班的时候 N(S)=V2,情况就很平凡了。

LOJ6062

arc076d

答案就是 n - 最大匹配。

根据等价式可得求:max{|S||N(S)|}

由于是补区间,写出来是:|S|[m(RL+1)][1,L],[R,m]|S| 中的(补)区间的并。

那么 S 中的数满足:liL,riR|S|+(RL+1)m

考虑按 li 排序,依次插入,当前值作为 L,发现 L,1,m 为定值,|S| 就是满足 riR 的区间数量,那么我们给区间 [L,ri] 加 1 即可,对于那个 R,就给线段树赋上初始值 i 即可,每次查询后缀最大值。

LYZ-Ice Skates

原来是 9 个月之前做的 S 组模拟赛题。现在秒了。

首先这是一个二分图匹配的形式,用 hall 定理得到充要:Suma(l,r)<=(rl+1+d)k

转化一下形式就可以线段树维护了。

HNOI 2018 省队集训 Day 5 Party

最难的是统计答案,其它比如树剖、bitset 都是显然。

由于每种颜色只能被一个人选,想到二分图匹配。

设每个人有 x 个物品,那么我们给每个人建 x 虚点,最后只需要 |S||N(S)|,即 |S|×xf(S)

由于 c 很小,所以我们直接枚举 S,计算出 x 满足所有 S 即可。根据 Hall 定理此时正好一定可以完美匹配。

带权 Hall

撸猫

转化成一个模型:左边 2^n,右边猫。

连接的边:每种情况连 pr、每只猫的一共出量为 c*p[i]。

带权匹配,要求右边漫流;

考虑带权 hall,满足 w|S右| <= w|N(S右)|

那么对于右边每种选取的情况,暴力计算 N(S) 和 S 即可。N(S) 可以高维前缀和算 。

二分图匹配

匈牙利:O(nm)

Dinic:O(n×m)

但是还没到 dinic,再等等。

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