路径算法

Shortest Path

程度★　難度★★

Shortest Walk

「最短途徑」是兩點之間權重最小的途徑。最短途徑不見得是邊最少、點最少的途徑。

「最短途徑」也可能不存在。兩點之間不連通、不存在途徑的時候，就沒有最短途徑。

Shortest Path

「最短路徑」和最短途徑相仿，差異在於路徑不可重複經過同樣的點和邊。

Shortest Walk 與 Shortest Path

權重為負值的環，稱作「負環（ Negative Cycle ）」。

當一張圖有負環，只要不斷去繞行負環，「最短途徑」的長度將是無限短。

當一張圖沒有負環，「最短途徑」等於「最短路徑」。

一條途徑重複經過同一條邊、同一個點，一定會讓途徑變長。由此可知：沒有負環的情況下，「最短途徑」等於「最短路徑」，決不會經過同樣的邊、同樣的點。

當一張圖有負環時，最短途徑無限短，我們不必再討論；當一張圖沒有負環時，最短途徑就是最短路徑，我們可以專心討論路徑、而非途徑。

Shortest Path Tree

在圖上選定一個起點，由起點到圖上各點的最短路徑們，形成一棵有向樹，稱作「最短路徑樹」。由於最短路徑不見得只有一條，所以固定起點的最短路徑樹也不見得只有一種。

最短路徑樹上的每一條最短路徑，都是由其它的最短路徑延展而得；截去末端之後，還是最短路徑。

Shortest Path Graph 【尚無正式稱呼】

在圖上選定一個起點和終點，由起點到終點的所有最短路徑們，形成一張有向圖，稱作「最短路徑圖」，只有唯一一種。

當圖上每一條邊的權重都是正數，最短路徑圖是有向無環圖（ Directed Acyclic Graph, DAG ）。

兩點之間有多條邊

當一張圖的兩點之間有多條邊，可以留下一條權重最小的邊。這麼做不影響最短路徑。

兩點之間沒有邊（兩點不相鄰）

當一張圖的兩點之間沒有邊，可以補上一條權重無限大的邊。這麼做不影響最短路徑。

當圖的資料結構為 adjacency matrix 時，任兩點之間都一定要有一個權重值。要找最短路徑，不相鄰的兩點之間，權重值必須設定為一個超大數字，當作無限大；不可設定為零，以免計算錯誤。

最短路徑無限長、無限短

當起點無法到達終點，就沒有最短路徑了。這種情況常被解讀成：起點永遠走不到終點，導致最短路徑無限長。

當圖上有負環，不斷去繞行負環，導致最短路徑無限短。

Relaxation

最後介紹最短路徑演算法一個共通的重要概念「鬆弛」。

尋找兩點之間的最短路徑時，最直觀的方式莫過於：先找一條路徑，然後再找其他路徑，看看會不會更短，並記住最短的一條。

找更短的路徑並不困難。我們可以尋覓捷徑，以縮短路徑；也可以另闢蹊徑，取代原本的路徑。如此找下去，必會找到最短路徑。

尋覓捷徑、另闢蹊徑的過程，可以以數學方式來描述：現在要找尋起點為 s 、終點為 t 的最短路徑，而且現在已經有一條由 s 到 t 的路徑，這條路徑上會依序經過 a 及 b 這兩點（可以是起點和終點）。我們可以找到一條新的捷徑，起點是 a 、終點是 b 的捷徑，以這條捷徑取代原本由 a 到 b 的這一小段路徑，讓路徑變短。

找到捷徑以縮短原本路徑，便是 Relaxation 。

附錄

最短路徑演算法的功能類型：

Point-to-Point Shortest Path，點到點最短路徑：
給定起點、終點，求出起點到終點的最短路徑。一對一。

Single Source Shortest Paths，單源最短路徑：
給定起點，求出起點到圖上每一點的最短路徑。一對全。

All Pairs Shortest Paths，全點對最短路徑：
求出圖上所有兩點之間的最短路徑。全對全。

有向圖、最短路徑演算法的原理：

Label Setting：
逐步設定每個點的最短路徑長度，一旦設定後就不再更改。
負邊不適用。

Label Correcting：
設定某個點的最短路徑長度之後，之後仍可繼續修正，越修越美。
整個過程就是不斷重新標記每個點的最短路徑長度。
負邊適用。

無向圖、最短路徑演算法的原理：

當無向圖沒有負邊，尚可套用有向圖的演算法。
當無向圖有負邊，則必須使用「T-Join」。

問題複雜度：

最短途徑：P問題。
最短路徑：NP-Complete問題；當圖上沒有負環，才是P問題。
最長途徑：每一條邊的權重添上負號，就變成最短途徑問題。
最長路徑：每一條邊的權重添上負號，就變成最短路徑問題。

古代人把walk叫做path、把path叫做simple path。
早期文獻說shortest path是P問題，
純粹是因為古代人與現代人用了不同的名詞定義。

Single Source Shortest Paths:
Label Setting Algorithm

程度★　難度★★

用途

一張有向圖，選定一個起點，求出起點到圖上各點的最短路徑，即是最短路徑樹。但是限制是：圖上每一條邊的權重皆非負數。

想法

當圖上每一條邊的權重皆非負數時，可以發現：每一條最短路徑，都是邊數更少、權重更小（也可能相同）的最短路徑的延伸。

於是乎，建立最短路徑樹，可以從邊數最少、權重最小的最短路徑開始建立，然後逐步延伸拓展。換句話說，就是從距離起點最近的點和邊開始找起，然後逐步延伸拓展。先找到的點和邊，保證會是最短路徑樹上的點和邊。

也可以想成是，從目前形成的最短路徑樹之外，屢次找一個離起點最近的點，（連帶著邊）加入到最短路徑樹之中，直到圖上所有點都被加入為止。

整個演算法的過程，可看作是兩個集合此消彼長。不在樹上、離根最近的點，移之。

運用已知的最短路徑，求出其他的最短路徑。循序漸進、保證最佳，這是Greedy Method的概念。

演算法

1. 將起點加入到最短路徑樹。此時最短路徑樹只有起點。
2. 重複下面這件事V-1次，將剩餘所有點加入到最短路徑樹。
　甲、尋找一個目前不在最短路徑樹上而且離起點最近的點b。
　乙、將b點加入到最短路徑樹。

運用Memoization，建立表格紀錄最短路徑長度，便容易求得不在樹上、離根最近的點。時間複雜度是O(V^3)。

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都是空的。

1. 將起點加入到最短路徑樹。此時最短路徑樹只有起點。
2. 重複下面這件事V-1次，將剩餘所有點加入到最短路徑樹。
　甲、尋找一個目前不在最短路徑樹上而且離起點最近的點：
　　　以窮舉方式，
　　　找一個已在最短路徑樹上的點a，以及一個不在最短路徑樹上的點b，
　　　讓d[a]+w[a][b]最小。
　乙、將b點的最短路徑長度存入到d[b]之中。
　丙、將b點（連同邊ab）加入到最短路徑樹。

實作

一點到多點的最短路徑、找出最短路徑樹（adjacency matrix）

int w[9][9]; // 一張有權重的圖：adjacency matrix
int d[9]; // 紀錄起點到圖上各個點的最短路徑長度
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
bool visit[9]; // 紀錄各個點是不是已在最短路徑樹之中
void label_setting(int source)
{
for (int i=0; i<100; i++) visit[i] = false; // initialize
d[source] = 0; // 設定起點的最短路徑長度
parent[source] = source; // 設定起點是樹根（父親為自己）
visit[source] = true; // 將起點加入到最短路徑樹
for (int k=0; k<9-1; k++) // 將剩餘所有點加入到最短路徑樹
{
// 從既有的最短路徑樹，找出一條聯外而且是最短的邊
int a = -1, b = -1, min = 1e9;
// 找一個已在最短路徑樹上的點
for (int i=0; i<9; i++)
if (visit[i])
// 找一個不在最短路徑樹上的點
for (int j=0; j<9; j++)
if (!visit[j])
if (d[i] + w[i][j] < min)
{
a = i; // 記錄這一條邊
b = j;
min = d[i] + w[i][j];
}
// 起點有連通的最短路徑都已找完
if (a == -1 || b == -1) break;
// // 不連通即是最短路徑長度無限長
// if (min == 1e9) break;
d[b] = min; // 儲存由起點到b點的最短路徑長度
parent[b] = a; // b點是由a點延伸過去的
visit[b] = true; // 把b點加入到最短路徑樹之中
}
}

Graph Traversal

Label Setting Algorithm亦可看做是一種Graph Traversal，遍歷順序是先拜訪離樹根最近的點和邊。

Single Source Shortest Paths:
Dijkstra's Algorithm

程度★　難度★★★

想法

找不在樹上、離根最近的點，先前的方式是：窮舉樹上a點及非樹上b點，找出最小的d[a]+w[a][b]。整個過程重覆窮舉了許多邊。

表格改為儲存d[a]+w[a][b]，就不必重覆窮舉邊了。每當一個a點加入最短路徑樹，就將d[a]+w[a][b]存入d[b]。找不在樹上、離根最近的點，就直接窮舉d[]表格，找出最小的d[b]。

演算法

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都設為無限大。

1. 重複下面這件事V次，以將所有點加入到最短路徑樹。
　甲、尋找一個目前不在最短路徑樹上而且離起點最近的點：
　　　直接搜尋d[]陣列裡頭的數值，來判斷離起點最近的點。
　乙、將此點加入到最短路徑樹之中。
　丙、令剛剛加入的點為a點，
　　　以窮舉方式，找一個不在最短路徑樹上、且與a點相鄰的點b，
　　　把d[a]+w[a][b]存入到d[b]當中。
　　　因為要找最短路徑，所以儘可能紀錄越小的d[a]+w[a][b]。
　　　（即是邊ab進行relaxation）

以Relaxation的角度來看，此演算法不斷以邊ab做為捷徑，讓起點到b點的路徑長度縮短為d[a]+w[a][b]。

時間複雜度

分為兩個部分討論：

甲、加入點、窮舉邊：每個點只加入一次，每條邊只窮舉一次，剛好等同於一次Graph Traversal的時間。

乙、尋找下一個點：從大小為V的陣列當中尋找最小值，為O(V)；總共尋找了V次，為O(V^2)。

甲乙相加就是整體的時間複雜度。圖的資料結構為adjacency matrix的話，便是O(V^2)；圖的資料結構為adjacency lists的話，還是O(V^2)。

實作

找出最短路徑樹（adjacency matrix）

int w[9][9]; // 一張有權重的圖
int d[9]; // 紀錄起點到各個點的最短路徑長度
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
bool visit[9]; // 紀錄各個點是不是已在最短路徑樹之中
void dijkstra(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false; // initialize
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
d[source] = 0;
parent[source] = source;
for (int k=0; k<9; k++)
{
int a = -1, b = -1, min = 1e9;
for (int i=0; i<9; i++)
if (!visit[i] && d[i] < min)
{
a = i; // 記錄這一條邊
min = d[i];
}
if (a == -1) break; // 起點有連通的最短路徑都已找完
// if (min == 1e9) break; // 不連通即是最短路徑長度無限長
visit[a] = true;
// 以邊ab進行relaxation
for (b=0; b<9; b++)
if (!visit[b] && d[a] + w[a][b] < d[b])
{
d[b] = d[a] + w[a][b];
parent[b] = a;
}
}
}

從最短路徑樹上找出最短路徑（adjacency matrix）

// 若要找出某一點的最短路徑，就可以利用parent陣列了。
void find_path(int x) // 印出由起點到x點的最短路徑
{
if (x != parent[x]) // 先把之前的路徑都印出來
find_path(parent[x]);
cout << x << endl; // 再把現在的位置印出來
}

找出最短路徑樹（adjacency lists）

struct Element {int b, w;} lists[9]; // 一張有權重的圖
int size[9];
int d[9];
int parent[9];
bool visit[9];
void dijkstra(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false;
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
d[source] = 0;
parent[source] = source;
for (int k=0; k<9; k++)
{
int a = -1, b = -1, min = 1e9;
for (int i=0; i<100; i++)
if (!visit[i] && d[i] < min)
{
a = i;
min = d[i];
}
if (a == -1) break;
visit[a] = true;
for (int i=0; i<size[a]; i++)
{
int b = lists[a][i].b, w = lists[a][i].w;
if (!visit[b] && d[a] + w < d[b])
{
d[b] = d[a] + w;
parent[b] = a;
}
}
}
}

找出最短路徑樹（edge list）

struct Edge {int a, b, w;}; // 紀錄一條邊的資訊
Edge edges[13];
int d[9];
int parent[9];
bool visit[9];
void dijkstra(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false;
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
d[source] = 0;
parent[source] = source;
for (int k=0; k<9; k++)
{
int a = -1, b = -1, min = 1e9;
for (int i=0; i<100; i++)
if (!visit[i] && d[i] < min)
{
a = i;
min = d[i];
}
if (a == -1) break;
visit[a] = true;
for (int i=0; i<13; i++)
if (edges[i].a == a)
{
int b = edges[i].b, w = edges[i].w;
if (!visit[b] && d[a] + w < d[b])
{
d[b] = d[a] + w;
parent[b] = a;
}
}
}
}

延伸閱讀：Fibonacci Heap

用特殊的資料結構可以加快這個演算法。建立V個元素的Fibonacci Heap，用其decrease key函式來實作relaxation，用其extract min函式來找出下一個點，可將時間複雜度降至O(E+VlogV)。

UVa 10801 10841 10278 10187 10039

Single Source Shortest Paths:
Label Setting Algorithm + Priority Queue

程度★★　難度★

演算法

找不在樹上、離根最近的點，先前的方式是：窮舉樹上a點及非樹上b點，也就是窮舉從樹上到非樹上的邊ab，以找出最小的d[a]+w[a][b]。

現在把d[a]+w[a][b]的值通通倒進Priority Queue。找不在樹上、離根最近的點，就從Priority Queue取出邊（與點）；每次relaxation就將邊（與點）塞入Priority Queue。

學過State Space Search的讀者，可以發現此演算法正是Uniform-cost Search，因此也有人說此演算法是考慮權重的BFS。

找出最短路徑樹（adjacency matrix）

// 要丟進Priority Queue的邊。
// ab是邊，d是起點到b點可能的最短路徑長度。
struct Edge {int a, b, d;};
// C++ STL內建的Priority Queue是Max-Heap，
// 而不是Min-Heap，故必須改寫一下比大小的函式。
bool operator<(const Edge& e1, const Edge& e2)
{
return e1.d > e2.d;
}
int w[9][9];
int d[9];
int parent[9];
bool visit[9];
void label_setting_with_priority_queue(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false;
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
// C++ STL的Priority Queue。
priority_queue<Edge> PQ;
int a = source;
d[a] = 0;
parent[a] = 0;
visit[a] = true;
for (int i=0; i<9-1; i++)
{
// 比大小的工作，交由Priority Queue處理。
for (int b=0; b<9; b++)
if (!visit[b])
PQ.push( (Edge){a, b, d[a] + w[a][b]} );
// 找出下一個要加入到最短路徑樹的邊（與點）
Edge e = (Edge){-1, -1, 0};
while (!PQ.empty())
{
e = PQ.top(); PQ.pop();
if (!visit[e.b]) break;
}
// 起點有連通的最短路徑都已找完
if (e.a == -1 || e.b == -1) break;
a = e.b;
d[a] = e.d;
parent[a] = e.a;
visit[a] = true;
}
}

時間複雜度：維護Priority Queue

首先必須確認Priority Queue的大小。圖上每一條邊皆用於relaxation一次，所以Priority Queue前前後後一共塞入了E條邊，最多也只能取出E條邊。Priority Queue的大小為O(E)。

塞入一條邊皆需時O(logE)，塞入E條邊皆需時O(ElogE)。取出亦如是。由此可知維護Priority Queue需時O(ElogE)。

在最短路徑問題當中，如果兩點之間有多條邊，只要取權重比較小的邊來進行最短路徑演算法就行了。也就是說，兩點之間只會剩下一條邊。也就是說，邊的總數不會超過C{V,2} = V*(V-1)/2個。也就是說，上述的時間複雜度O(ElogE)，得改寫成O(Elog(V^2)) = O(2ElogV) = O(ElogV)。

Priority Queue可以採用Binary Heap或Binomial Heap，時間複雜度都相同。

當圖上每條邊的權重皆為正整數的情況下，Priority Queue亦得採用vEB Tree，時間複雜度下降成O(EloglogW)，其中W為最長的最短路徑長度。

時間複雜度

一次Graph Traversal的時間，加上維護Priority Queue的時間。

圖的資料結構為adjacency matrix的話，便是O(V^2 + ElogE)；圖的資料結構為adjacency lists的話，便是O(V+E + ElogE)。

這個方法適用於圖上的邊非常少的情況。若是一般情況，使用Dijkstra's Algorithm會比較有效率，程式碼的結構也比較簡單。

Single Source Shortest Paths:
Dijkstra's Algorithm + Priority Queue

程度★★　難度★

演算法

時間複雜度與上一篇文章相同，然而效率較佳。

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都是空的。
令PQ是一個存放點的Priority Queue，由小到大排序鍵值。

1. 把起點放入PQ。
2. 重複下面這件事，直到最短路徑樹完成為止：
　甲、嘗試從PQ中取出一點a，點a必須是目前不在最短路徑樹上的點。
　乙、將a點（連同其邊）加入最短路徑樹。
　丙、將所有與a點相鄰且不在樹上的點的點b（連同邊ab）放入PQ，
　　　設定鍵值為d[a] + w[a][b]，鍵值同時也存入d[b]，
　　　但是會先檢查d[a] + w[a][b]是不是大於d[b]，
　　　大於才放入PQ，鍵值才存入d[b]。
　　　（此步驟即是以邊ab進行ralaxation。）

找出最短路徑樹（adjacency matrix）

// 要丟進Priority Queue的點
// b是點，d是可能的最短路徑長度。
// a可以提出來，不必放在Node裡。
struct Node {int b, d;};
bool operator<(const Node& n1, const Node& n2) {return n1.d > n2.d;}
int w[9][9];
int d[9];
int parent[9];
bool visit[9];
void dijkstra_with_priority_queue(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false;
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
// C++ STL的Priority Queue
priority_queue<Node> PQ;
d[source] = 0;
parent[source] = source;
PQ.push((Node){source, d[source]});
for (int i=0; i<9; i++)
{
// 找出下一個要加入到最短路徑樹的點。
int a = -1;
while (!PQ.empty() && visit[a = PQ.top().b])
PQ.pop(); // 最後少pop一次，不過無妨。
if (a == -1) break;
visit[a] = true;
for (int b=0; b<9; b++)
if (!visit[b] && d[a] + w[a][b] < d[b])
{
d[b] = d[a] + w[a][b];
parent[b] = a;
// 交由Priority Queue比較大小
PQ.push( (Node){b, d[b]} );
}
}
}

UVa 10278 10740 10986

Single Source Shortest Paths:
Dial's Algorithm

程度★★　難度★

演算法

用Bucket Sort代替表格，把d[a]+w[a][b]的值通通拿去做Bucket Sort。用在每條邊的權重都是非負整數的圖。

找出最短路徑樹（adjacency matrix）

int w[9][9];
int d[9];
int parent[9];
bool visit[9];
// 建立500個bucket，每個bucket是一個queue。
queue< pair<int,int> > bucket[500];
void dial(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false;
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
for (int i=0; i<500; i++) bucket[i].clear();
bucket[0].push( make_pair(source, source) );
for (int k=0, slot=0; k<9 && slot<500; k++)
{
while (slot < 500 && bucket[slot].empty()) slot++;
if (slot == 500) break; // 起點有連通的最短路徑都已找完
int a = bucket[slot].front().first;
parent[a] = bucket[slot].front().second;
d[a] = slot;
visit[a] = true;
bucket[slot].pop();
for (int b=0; b<9; b++)
if (!visit[b])
{
int s = d[a] + w[a][b];
bucket[s].push( make_pair(b, a) );
}
}
}

時間複雜度：進行Bucket Sort

整個bucket最多放入E個點、拿出E個點，然後整個bucket讀過一遍，時間複雜度總共是O(E+W)，其中W為bucket的數目，也是最長的最短路徑長度。

當圖上每條邊的權重不是整數時，時間複雜度是O(WV)。

時間複雜度

一次Graph Traversal的時間，再加上Bucket Sort的時間。

圖的資料結構為adjacency matrix的話，便是O(V^2 + W)；圖的資料結構為adjacency lists的話，便是O(V+E + W)。

當圖上每條邊的權重不是整數時。圖的資料結構為adjacency matrix的話，便是O(V^2 + WV)；圖的資料結構為adjacency lists的話，便是O(V+E + WV)。

Single Source Shortest Paths:
Label Correcting Algorithm
（Bellman-Ford Algorithm）

程度★　難度★★★

註記

http://www.walden-family.com/public/bf-history.pdf

此演算法誤植情況相當嚴重，包括CLRS、維基百科，記載的並非原始版本。

此演算法亦經由西南交通大学段凡丁《关于最短路径的SPFA快速算法》重新發現，於是中文網路出現了Shortest Path Faster Algorithm, SPFA的通俗稱呼，後來更有中文書籍不明就裡胡亂引用。學術上根本查無此稱呼。

此演算法的貢獻者除了Bellman與Ford以外，其實還有另外一人Moore。按照論文發表的年代順序，Ford首先發現Label Correcting的技巧，但是沒有特別規定計算順序；Moore發現由起點開始，不斷朝鄰點擴展，是一個不錯的計算順序（等同使用queue）；Bellman發現此演算法可套用Dynamic Programming的思路，並證明每個點最多重新標記V-1次，演算法就可以結束。

約五年後，Ford與Fulkerson改良此演算法，成為分散式演算法，後人稱作Distance-vector Routing，是知名的網路路由協定──即是CLRS、維基百科記載的版本。

用途

一張有向圖，選定一個起點，求出起點到圖上各點的最短路徑，即是最短路徑樹。可以順便偵測圖上是否有負環，但是無法找出負環所在位置。

圖上有負邊，就無法使用Label Setting Algorithm。不在樹上、離根最近的點，受負邊影響，不見得是最短路徑。

圖上有負邊，則可以使用Label Correcting Algorithm。就算數值標記錯了，仍可修正。

想法：求出最短路徑樹

先前介紹relaxation說到：不斷尋找捷徑以縮短原本路徑，終會得到最短路徑。

一條捷徑如果很長，就不好辦了。一條捷徑如果很長，可以拆解成一條一條的邊，並一一嘗試以這些邊作為捷徑。只要不斷重複嘗試，逐步更新最短路徑長度，一條一條的邊終會連接成一條完整的捷徑。這是Greedy Method的概念。

從relaxation的角度來看：

Label Setting Algorithm只有正邊、零邊，知道relaxation的正確順序，逐步設定每個點的最短路徑長度。

Label Correcting Algorithm受負邊影響，不知道relaxation的正確順序，只好不斷尋找捷徑、不斷校正每個點的最短路徑長度，直到正確為止。

想法：偵測負環

如果一張圖上面有負環，那麼建立一條經過負環的捷徑，便會讓路徑縮短一些；只要不斷地建立經過負環的捷徑，不斷地繞行負環，那麼路徑就會無限縮短下去，成為無限短。

一條最短路徑最多只有V-1條邊。當一個點被標記超過V-1次，表示其最短路徑超過V-1條邊（讀者請自行推敲），必定經過負環！

演算法

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都設為無限大。

一、重複下面這件事，直到圖上每一條邊都無法作為捷徑：
　甲、找到一條可以作為捷徑的邊ab：d[a] + w[a][b] < d[b]。
　乙、以邊ab來修正起點到b點的最短路徑：d[b] = d[a] + w[a][b]。
　丙、如果b點被標記V次以上，表示圖上有負環。演算法立刻結束。

找出最短路徑樹＋偵測負環

int w[9][9]; // 一張有權重的圖：adjacency matrix
int d[9]; // 紀錄起點到各個點的最短路徑長度
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
int n[9]; // 記錄各個點被標記幾次，初始化為零。
void label_correcting(int source)
{
n[0...9-1] = 0; // 初始化
d[source] = 0; // 設定起點的最短路徑長度
parent[source] = source; // 設定起點是樹根（父親為自己）
n[source]++; // 起點被標記了一次
while (還能找到一條邊ab讓d[a] + w[a][b] < d[b])
{
d[b] = d[a] + w[a][b]; // 更新由起點到b點的最短路徑長度
parent[b] = a; // b點是由a點延伸過去的
if (++n[b] >= 9) return;// 圖上有負環，最短路徑樹不存在！
}
}

演算法

想要亂槍打鳥、直接找到可以做為捷徑的邊，並不是那麼容易的。腳踏實地的方式是：一個點一旦被重新標記，就讓該點所有出邊嘗試做為捷徑，更新鄰點的最短路徑長度。

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都設為無限大。
LIST是一個存放點的容器，可以是stack、queue、set、……。

一、把起點放入LIST。
二、重複下面這件事，直到LIST沒有東西為止：
　甲、從LIST中取出一點，作為a點。
　乙、找到一條可以作為捷徑的邊ab：d[a] + w[a][b] < d[b]。
　丙、以邊ab來修正起點到b點的最短路徑：d[b] = d[a] + w[a][b]。
　丁、將b點加到LIST當中。
　戊、如果b點被標記V次以上，表示圖上有負環。演算法立刻結束。

找出最短路徑樹＋偵測負環（adjacency matrix）

int w[9][9]; // 一張有權重的圖：adjacency matrix
int d[9]; // 紀錄起點到各個點的最短路徑長度
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
int n[9]; // 記錄各個點被標記幾次，初始化為零。
void label_correcting(int source)
{
memset(n, 0, sizeof(n)); // 初始化
d[source] = 0; // 設定起點的最短路徑長度
parent[source] = source; // 設定起點是樹根（父親為自己）
n[source]++; // 起點被標記了一次
queue<int> Q; // 一個存放點的容器：queue
Q.push(source); // 將起點放入容器當中
while (!Q.empty())
{
int a = Q.front(); Q.pop(); // 從容器中取出一點，作為a點
for (int b=0; b<9 ++b)
if (d[a] + w[a][b] < d[b])
{
if (++n[b] >= 9) return;// 圖上有負環，最短路徑樹不存在
d[b] = d[a] + w[a][b]; // 修正起點到b點的最短路徑長度
parent[b] = a; // b點是由a點延伸過去的
Q.push(b); // 將b點放入容器當中
}
}
}

容器亦可改用Priority Queue，自行訂立一套優先順序，以加速演算法。Small Label First（SLF）、Large Label Last（LLL）都是不錯的選擇。

時間複雜度

圖的資料結構為adjacency list的話：

每當重新標記一個點，就讓該點所有出邊嘗試做為捷徑。每個點最多標記V次。

每個點都標記一次時，需時O(V+E)。每個點都標記V次時，需時O(V*(V+E))，可簡單寫成O(VE)。因此總時間複雜度為O(VE)。

實務上，每個點僅標記一至二次，平均時間複雜度為O(V+E)。效率極高。

圖的資料結構為adjacency matrix的話，時間複雜度為O(V^3)。平均時間複雜度為O(V^2)。

UVa 10557 10682

Single Source Shortest Paths:
Distance-vector Routing
（Distributed Bellman-Ford Algorithm）

程度★　難度★★

演算法：找出最短路徑樹

圖上每一條邊依序（或同時）當作捷徑，進行relaxation。重覆V-1次。

【待補圖片】

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都設為無限大。

一、重複下面這件事V-1次：
　甲、窮舉所有邊ab，
　乙、找到所有可以作為捷徑的邊ab：d[a] + w[a][b] < d[b]。
　丙、以邊ab來修正起點到b點的最短路徑：d[b] = d[a] + w[a][b]。

找出最短路徑樹（adjacency matrix）

int w[9][9]; // 一張有權重的圖
int d[9]; // 紀錄起點到各個點的最短路徑長度
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
void distance_vector(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9; // initialize
d[source] = 0; // 設定起點的最短路徑長度
parent[source] = source; // 設定起點是樹根（父親為自己）
for (int i=0; i<9-1; i++) // 重覆步驟V-1次
for (int a=0; a<9; ++a) // 全部的邊都當作捷徑
for (int b=0; b<9; ++b)
if (d[a] + w[a][b] < d[b])
{
d[b] = d[a] + w[a][b];
parent[b] = a;
}
}

找出最短路徑樹（adjacency lists）

struct Element {int v, w;} w[9]; // 一張有權重的圖
int size[9];
int d[9];
int parent[9];
void distance_vector(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
d[source] = 0;
parent[source] = source;
for (int i=0; i<9-1; i++)
for (int a=0; a<9; a++)
for (int j=0; j<size[a]; j++)
{
int b = w[a][j].b, w = w[a][j].w;
if (d[a] + w < d[b])
{
d[b] = d[a] + w;
parent[b] = a;
}
}
}

找出最短路徑樹（edge list）

struct Edge {int a, b, w;}; // 紀錄一條邊的資訊
Edge w[13]; // 將所有邊依序放進陣列之中，成為一張有權重的圖
int d[9];
int parent[9];
void distance_vector(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
d[source] = 0;
parent[source] = source;
for (int i=0; i<9-1; i++)
for (int j=0; j<13; j++)
{
int a = w[j].a, b = w[j].b, w = w[j].w;
if (d[a] + w < d[b])
{
d[b] = d[a] + w;
parent[b] = a;
}
}
}

時間複雜度：圖的資料結構為adjacency matrix的話，便是O(V^3)；圖的資料結構為adjacency lists的話，便是O(VE)。

實際效率不如Label Correcting Algorithm。

演算法：偵測負環

每個點已經標記了V-1次。若還能找到捷徑，使某個點變成標記V次，則有負環。

只需一次Graph Traversal的時間，便能偵測負環。

偵測負環（adjacency matrix）

bool negative_cycle()
{
for (int a=0; a<9; ++a)
for (int b=0; b<9; ++b)
if (d[a] + w[a][b] < d[b])
return true;
return false;
}

UVa 558

Single Source Shortest Paths:
Scaling

程度★★　難度★★★

用途

一張有向圖，選定一個起點，求出起點到圖上各點的最短路徑，即是最短路徑樹。但是限制是：圖上每一條邊的權重皆非負數。但是限制是：圖上每一條邊的權重皆非負整數。

演算法（Gabow's Algorithm）

詳細內容可參考CLRS習題24-4，此處僅略述。

重複以下步驟O(logC)次，每個步驟要求出當下的最短路徑：
1. 令權重更加精細。
2. 以上一步驟算得的最短路徑長度來調整權重。
   並以調整後的權重求最短路徑，可用O(V+E)時間求得。
   （調整過的權重剛好皆為非負數，且最短路徑長度都不會超過E。）
3. 還原成正確的最短路徑長度。

Scaling的精髓，在於每次增加精細度後，必須有效率的修正前次與今次的誤差。此演算法巧妙運用調整權重的技術，確切找出前次與今次差異之處，而得以用O(E)時間修正誤差。

上述O(V+E)求最短路徑的演算法，仍是運用Dijkstra's Algorithm「最近的點先找」概念，只是求法有點小改變。首先開個E+1條linked list，離起點距離為x的點，就放在第x條。只要依序掃描一遍所有的linked list，就可以求出最短路徑了。

const int V = 9, E = 9 * 8 / 2;
int w[9][9]; // 一張有權重的圖（adjacency matrix）
int d[9]; // 紀錄起點到各個點的最短路徑長度
void shortest_path(int s)
{
vector<int> list[E+1];
list[0].push_back(s);
for (int i=0; i<=E; ++i)
for (int j=0; j<list[i].size(); ++j)
{
int u = list[i][j];
if (d[u] is not filled)
{
d[u] = i;
// relaxation
for (int v=0; v<V; ++v)
if (d[v] is not filled && i + w[u][v] <= E)
list[i + w[u][v]].push_back(v);
}
}
}

時間複雜度

整個演算法共有O(logC)個步驟，C是整張圖權重最大的邊的權重。

圖的資料結構為adjacency matrix的話，每一步驟需要O(V^2)時間，整體時間複雜度為O(V^2 * logC)；圖的資料結構為adjacency lists的話，每一步驟需要O(V+E)時間（簡單記為O(E)），整體時間複雜度為O(ElogC)。

計算最短路徑的長度（adjacency lists）

【待補程式碼】

找出最短路徑樹（adjacency lists）

【待補程式碼】

Single Source Shortest Paths in DAG:
Topological Sort

程度★　難度★★★

用途

一張有向無環圖（Directed Acyclic Graph, DAG），選定一個起點，求出起點到圖上各點的最短路徑，即是最短路徑樹。

演算法

此演算法為Topological Sort加上Dynamic Programming，與Activity on Edge Network的演算法如出一轍，可參考本站文件「Topological Sort」。

一張圖經過Topological Sort之後，便可以確定圖上每一個點只會往排在後方的點走去（由排在前方的點走過來）。計算順序相當明確，因此可以利用Dynamic Programming來計算各條最短路徑。

1. 進行Topological Sort。
2. 依照拓樸順序（或者逆序），對各點進行relaxation。

這個演算法可以看做是，每次都知道最小值在哪一點的Dijkstra's Algorithm。

時間複雜度

時間複雜度約是兩次Graph Traversal的時間複雜度。圖的資料結構為adjacency matrix的話，便是O(V^2)；圖的資料結構為adjacency lists的話，便是O(V+E)。

找出最短路徑樹（adjacency matrix）

bool w[9][9]; // adjacency matrix
int topo[9]; // 經過拓樸排序後的順序
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
void shortest_path_tree(int source)
{
for (int i=0; i<9; i++) visit[i] = false;
for (int i=0; i<9; i++) d[i] = 1e9;
// 找出起點是在拓樸排序中的哪一個位置
int p = 0;
while (p < 9 && topo[p] != source) p++;
// 計算最短路徑長度
d[p] = 0; // 設定起點的最短路徑長度
parent[p] = p; // 設定起點是樹根（父親為自己）
for (int i=p; i<9; ++i) // 看看每一個點可連向哪些點
for (int j=i+1; j<9; ++j)
{
int a = topo[i], b = topo[j];
if (d[a] + w[a][b] < d[b])
{
d[b] = d[a] + w[a][b];
parent[b] = a;
}
}
}

迴圈的部分還有另一種寫法。

for (int j=p+1; j<9; ++j) // 看看每一個點被哪些點連向
for (int i=0; i<j; ++i)
{
int a = topo[i], b = topo[j];
if (d[a] + w[a][b] < d[b])
{
d[b] = d[a] + w[a][b];
parent[b] = a;
}
}

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