【比赛】高一下期末

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T1 月下“毛景树” 100Pts

题面

树链剖分板子，边权转点权。

由于这题要支持区间修改和区间覆盖两个操作，所以要开两个 lazy 标记，注意覆盖的优先级要比增加高，所以更新覆盖的标记时要把增加的清零，pushdown 时要按照先覆盖后增加的顺序进行。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
struct edge{
	int next,to,w;
}e[N*2];
int h[N],cnt;
void add(int u,int v,int w){
	e[++cnt]={h[u],v,w};
	h[u]=cnt;
}
int a[N],w[N],dep[N],fa[N],siz[N],son[N],top[N],id[N],tot;
void dfs1(int x,int f){
	dep[x]=dep[f]+1;
	fa[x]=f;
	siz[x]=1;
	int maxc=0;
	for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
		int to=e[i].to;
		if(to==f)continue;
		a[to]=e[i].w;
		dfs1(to,x);
		siz[x]+=siz[to];
		if(siz[to]>maxc){
			maxc=siz[to];
			son[x]=to;
		}
	}
}
void dfs2(int x,int topf){
	top[x]=topf;
	id[x]=++tot;
	w[tot]=a[x];
	if(!son[x])return;
	dfs2(son[x],topf);
	for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
		int to=e[i].to;
		if(to==fa[x]||to==son[x])continue;
		dfs2(to,to);
	}
}
struct tree{
	int l,r,dat,lz1,lz2;//lz1¸²¸Ç   lz2Ôö¼Ó 
}t[N<<2];
void pushup(int k){
	t[k].dat=max(t[k<<1].dat,t[k<<1|1].dat);
}
void pushdown(int k){
	if(t[k].lz1!=-1){
//		t[k].lz2=0;
		t[k<<1].lz2=t[k<<1|1].lz2=0;
		t[k<<1].lz1=t[k<<1|1].lz1=t[k].lz1;
		t[k<<1].dat=t[k<<1|1].dat=t[k].lz1;
		t[k].lz1=-1;
	}
	if(t[k].lz2){
		t[k<<1].lz2+=t[k].lz2;
		t[k<<1].dat+=t[k].lz2;
		t[k<<1|1].lz2+=t[k].lz2;
		t[k<<1|1].dat+=t[k].lz2;
		t[k].lz2=0;
	}
}
void build(int k,int l,int r){
	t[k]={l,r,w[l],-1,0};
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	pushup(k);
}
void update1(int k,int l,int r,int val){
	if(l<=t[k].l&&t[k].r<=r){
		t[k].lz1=t[k].dat=val;
		t[k].lz2=0;
		return;
	}
	pushdown(k);
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(l<=mid)update1(k<<1,l,r,val);
	if(r>mid)update1(k<<1|1,l,r,val);
	pushup(k);
}
void update2(int k,int l,int r,int val){
	if(l<=t[k].l&&t[k].r<=r){
		t[k].lz2+=val;
		t[k].dat+=val;
		return;
	}
	pushdown(k);
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(l<=mid)update2(k<<1,l,r,val);
	if(r>mid)update2(k<<1|1,l,r,val);
	pushup(k);
}
int query(int k,int l,int r){
	if(l<=t[k].l&&t[k].r<=r)return t[k].dat;
	pushdown(k);
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	int ans=0;
	if(l<=mid)ans=max(ans,query(k<<1,l,r));
	if(r>mid)ans=max(ans,query(k<<1|1,l,r));
	return ans;
}
void uprange1(int x,int y,int val){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		update1(1,id[top[x]],id[x],val);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	update1(1,id[x]+1,id[y],val);
}
void uprange2(int x,int y,int val){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		update2(1,id[top[x]],id[x],val);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	update2(1,id[x]+1,id[y],val);
}
int qrange(int x,int y){
	int ans=0;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
		ans=max(ans,query(1,id[top[x]],id[x]));
		x=fa[top[x]];
	}
	if(x==y)return ans;
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	ans=max(ans,query(1,id[x]+1,id[y]));
	return ans;
}
int n,x,y,z;
string op;
int main(){
	freopen("tree.in","r",stdin);
	freopen("tree.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	dfs1(1,1);
	dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	while(cin>>op){
		if(op=="Stop")break;
		else if(op=="Change"){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			int to1=e[x*2-1].to,to2=e[x*2].to,to;
			if(id[to1]>id[to2])to=to1;
			else to=to2;
			update1(1,id[to],id[to],y);
		}
		else if(op=="Cover"){
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			if(x==y)continue;
			uprange1(x,y,z);
		}
		else if(op=="Add"){
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			if(x==y)continue;
			uprange2(x,y,z);
		}
		else{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			int ans=qrange(x,y);
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}

T2 上课安排 100Pts

题面

很抽象的一道题，应该是个构造...吧？

赛后题解：

首先对于30%甚至50%的数据，打表是完全没问题的，那么对于可打表的数据，我们可以发现一个规律：最多可以取的次数为n-2，并且恒成立，下面给出证明：
（1）：n为奇数
n最小为5，此时最大次数为3，可为{1}，{2,3}，{2,4,5}，对于7，我们可以在每一组后添1个7，因为原组合不互相包含，那么加上一个7后仍不互相包含，然后将6作为单独一组，以此类推，所有为奇数的n均可以用这种方式构造出。
（2）：n为偶数
同（1），n最小为4，最大次数为2，{1}，{2，3}，对于6可以在每一组后添1个6，因为原组合不互相包含，那么加上一个6后仍不互相包含，然后将5作为单独一组，以此类推，所有为偶数的n均可以用这种方式构造出。证毕。

我的解题历程：

1. 观察大样例并仔细手玩
2. 发现了一个很抽象的规律

规律：从多往少排，对于前一半每次将从后往前第 $i$ 个数加 $2$，并将第 $i-1$ 个数删去；对于后一半将前两个数加起来除以 $2$，如果其和 $n$ 的奇偶性不同就加 $1$。

3. 过了

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
vector<int> a;
int main(){
	freopen("course.in","r",stdin);
	freopen("course.out","w",stdout);
	int n;
	cin>>n;
	cout<<n-2<<"\n";
	for(int i=1;i<=n-2;i++)a.push_back(i);
	if(n&1){
		int aa=(n-2)/2+1;
		int tt=1;
		for(int i=n-2;i>=aa;i--){
			cout<<i<<" ";
			for(auto &j:a)cout<<j<<" ";
			if(i==aa)break;
			int ed=a.size()-tt;
			a[ed]+=2;
			a.erase(a.end()-tt-1);
			tt++;
			cout<<"\n";
		}
		cout<<"\n";
		for(int i=aa-1;i>=1;i--){
			cout<<i<<" ";
			a[0]=(a[0]+a[1])/2;
			if((a[0]&1)==1)a[0]++;
			a.erase(a.begin()+1);
			for(auto &j:a)cout<<j<<" ";
			cout<<"\n";
		}
	}
	else{
		int aa=(n-2)/2;
		int tt=1;
		for(int i=n-2;i>=aa;i--){
			cout<<i<<" ";
			for(auto &j:a)cout<<j<<" ";
			if(i==aa)break;
			int ed=a.size()-tt;
			a[ed]+=2;
			a.erase(a.end()-tt-1);
			tt++;
			cout<<"\n";
		}
		cout<<"\n";
		for(int i=aa-1;i>=1;i--){
			cout<<i<<" ";
			a[0]=(a[0]+a[1])/2;
			if((a[0]&1)==0)a[0]++;
			a.erase(a.begin()+1);
			for(auto &j:a)cout<<j<<" ";
			cout<<"\n";
		}
	}
	
	return 0;
}

T3 偷天换日 10Pts

题面

树上 DP，但过于抽象的数据，过于吓人的图和 T1 给的时间压力让我直接跳了这题，只拿了特判大样例的 10Pts。

由于输入是按深搜来的，所以我们要一边 dfs 一边输入一边 DP。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=605;
ll n,m,ans,a,b;
int cnt=1;
int lc[N],rc[N];
ll w[N],c[N],f[N][N];
void dfs(int x){
	cin>>w[cnt]>>c[cnt];
	if(c[cnt]==0){
		lc[x]=++cnt;
		dfs(cnt);
		int now=w[lc[x]]*2;
		for(int i=now;i<=n;i++)f[x][i]=f[lc[x]][i-now];
		rc[x]=++cnt;
		dfs(cnt);
		now=w[rc[x]]*2;
		for(int i=n;;i--){
			if(i<now)break;
			for(int j=0;j<=i-now;j++){
				f[x][i]=max(f[x][i],f[x][i-j-now]+f[rc[x]][j]);
			}
		}
	}
	else{
		for(int i=1;i<=c[cnt];i++){
			cin>>a>>b;
			for(int j=n;j>=b;j--)f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-b]+a);
		}
	}
}
int main(){
	freopen("steal.in","r",stdin);
	freopen("steal.out","w",stdout);
	cin>>n;
	n--;
	dfs(1);
	for(int i=0;i<=n-w[1]*2;i++)ans=max(ans,f[1][i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}

T4 Hotel 旅馆 83Pts

题面

又是一道小山海经。线段树维护左右延伸距离和总距离，查找时先搜左边再中间最后右边，第一个满足的位置即为所求；清空时就是线段树的覆盖。

不过这题数据水了，暴力能过，洛谷也能过。

update:加了组数据，卡了暴力。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50005;
int n,m,l,r,ask,k;
struct tree{
	int l,r,sum,lsum,rsum,lazy;
}t[N<<2];
void pushup(int k){
	int len=t[k].r-t[k].l+1;
	t[k].lsum=t[k<<1].lsum;
	t[k].rsum=t[k<<1|1].rsum;
	if(t[k].lsum==len-(len>>1))t[k].lsum+=t[k<<1|1].lsum;
	if(t[k].rsum==len>>1)t[k].rsum+=t[k<<1].rsum;
	t[k].sum=max(max(t[k<<1].sum,t[k<<1|1].sum),t[k<<1].rsum+t[k<<1|1].lsum);
}
void build(int k,int l,int r){
	t[k].l=l;
	t[k].r=r;
	t[k].lsum=t[k].rsum=t[k].sum=r-l+1;
	t[k].lazy=-1;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
}
void pushdown(int k){
	if(t[k].lazy!=-1){
		int len=t[k].r-t[k].l+1;
		t[k<<1].lazy=t[k<<1|1].lazy=t[k].lazy;
		if(t[k].lazy==0)t[k<<1].lsum=t[k<<1].rsum=t[k<<1].sum=(len-(len>>1));
		else t[k<<1].lsum=t[k<<1].rsum=t[k<<1].sum=0;
		if(t[k].lazy==0)t[k<<1|1].lsum=t[k<<1|1].rsum=t[k<<1|1].sum=len>>1;
		else t[k<<1|1].lsum=t[k<<1|1].rsum=t[k<<1|1].sum=0;
		t[k].lazy=-1;
	}
}
int query(int k,int w){
	if(t[k].l==t[k].r)return 1;
	pushdown(k);
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(t[k<<1].sum>=w)return query(k<<1,w);
	else if(t[k<<1].rsum+t[k<<1|1].lsum>=w)return mid-t[k<<1].rsum+1;
	else return query(k<<1|1,w);
}
void update(int k,int l,int r,int val){
	if(l<=t[k].l&&t[k].r<=r){
		if(val==0)t[k].lsum=t[k].rsum=t[k].sum=t[k].r-t[k].l+1;
		else t[k].lsum=t[k].rsum=t[k].sum=0;
		t[k].lazy=val;
		return;
	}
	pushdown(k);
	int mid=(t[k].l+t[k].r)>>1;
	if(l<=mid)update(k<<1,l,r,val);
	if(r>mid)update(k<<1|1,l,r,val);
	pushup(k);
}
int main(){
	freopen("hotel.in","r",stdin);
	freopen("hotel.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	build(1,1,n);
	while(m--){
		scanf("%d",&ask);
		if(ask==1){
			scanf("%d",&k);
			if(k>t[1].sum){
				printf("0\n");
				continue;
			}
			int pos=query(1,k);
			printf("%d\n",pos);
			update(1,pos,pos+k-1,1);
		}
		else{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			update(1,l,l+r-1,0);
		}
	}
	return 0;
}

暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+5;
int a[N],n,m,op,x,y;
int main(){
	freopen("hotel.in","r",stdin);
	freopen("hotel.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d",&op);
		if(op==1){
			scanf("%d",&x);
			int cnt=0;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				if(a[i]==0)cnt++;
				else cnt=0;
				if(cnt==x){
					printf("%d\n",i+1-x);
					for(int j=i+1-x;j<=i;j++)a[j]=1;
					break;
				}
			}
			if(cnt!=x)puts("0");
		}
		else{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			for(int i=x;i<=x+y-1;i++)a[i]=0;
		}
	}
	return 0;
}

T5 基因匹配Match 60Pts

题面

显然 60 分的部分分就是一个裸的 LCS，直接暴力即可。$5n=5000$ 的数据也可以开下二维数组，如果想骗 $n\le 20000$ 的数据也可以用滚动数组，但这题一点都骗不到。

然后仔细观察，我们发现一个数最多只会出现 $5$ 遍，也就是说只有这五个数可能对答案产生贡献，所以只需更新这五个位置，用一个树状数组或者线段树维护最大值即可。注意要倒序更新，否则可能会用前面刚更新完的数来更新当前这一个。

60分暴力

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,a[N],b[N];
int f[2][N];
int main(){
	freopen("match.in","r",stdin);
	freopen("match.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	n*=5;
	for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		for(register int j=1;j<=n;j++){
			f[i&1][j]=max({f[i&1][j],f[i-1&1][j],f[i&1][j-1]});
			if(a[i]==b[j])f[i&1][j]=max(f[i&1][j],f[i-1&1][j-1]+1);
		}
	}
	cout<<f[n&1][n];
	return 0;
}

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int n,a[N],b,c[N];
int f[N];
void add(int x,int val){
	while(x<=n){
		c[x]=max(c[x],val);
		x+=lowbit(x);
	}
}
int query(int x){
	int ans=0;
	while(x){
		ans=max(ans,c[x]);
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
vector<int> pos[N/5];
int main(){
	freopen("match.in","r",stdin);
	freopen("match.out","w",stdout);
	cin>>n;
	n*=5;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		pos[a[i]].push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>b;
		for(int j=pos[b].size()-1;j>=0;j--){
			int p=pos[b][j];
			f[p]=query(p-1)+1;
			add(p,f[p]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
	cout<<ans;
	return 0;
}

后记

• 怎么这次又不发冰棍了？

• 考试前一天晚上 $\text{晓飞谷}$ 设置比赛时忘关投屏了，导致所有人都知道 T1 是什么了，所以怎么只有 $4$ 个人过捏

• $\text{Huge}$ 对我们特判大样例一事进行了批评：

“你们这 $10$ 分的都是特判（大样例）的吧”
“下次在这么干可就不给大样例了”

$$ 直接从根本上解决了问题。

• T4 数据过水招致了不少人的怨恨。

“加上这题暴力我能比他俩都高！” —— oistars

• 虽然 @Elaina-0 没有来集训，但他参加了考试，并取得了 rk2 的好成绩。

• 23426 的 OIer 正好能凑出一个宿舍！

update：yht 退役了，这下真的一个宿舍都凑不齐了

• 凭什么我们吃饭不能免费？

• 集训第一天就考试；总结：史。