第【2】章： 查找与排序（上） 学习报告
寻找递推公式或等价转换，找出变化量变化规律，找出口
（2.1）节： 什么是递归
1、题干：求阶乘
2、解答思路：设置递归，找出变化规律，设置边界避免死循环
3、关键代码：
Int f1（int n）
{
If（n==1）
Return 1；
Return n*f1（n-1）；
}
（2.2）节： 切蛋糕思维
1、题干：对数组元素求和
2、解答思路：变化的量作为递归的参数
3、关键代码
Int f2（int a[]，int n）
{
If（n==sizeof(a)）
Return 0；
Return a[n]+f1（a,n+1）；
}
（2.3）节： 斐波那契数列
1、题干：求第n项的值
2、解答思路：前两项为1，后面每一项为前两项之和；
3、关键代码：
int f3(int n)
{
if(n==1||n==2)
return 1;
return f3(n-1)+f3(n-2);
}
（2.4）节： 巧用递归解最大公约数
1、题干：求最大公约数
2，解答思路：利用辗转相除法，不断取余数作为被除数，直到余数为0时，被除数为最大公约数。
3、关键代码：
Int f4(int m, int n)
{
If(n==0)
Return m;
Return f(n,m%n);
}
（2.5）节： 递归形式进行插入排序
1、题干：用递归形式对数组进行插入排序
2、解答思路：先从数组最后一个传递到第一个，然后从第一个进行插入排序，简单来说就是把后面的值挨个插入到前面有序的队列中。
3、关键代码：
void f3(int a[],int n)//n=数组最大下标值
{
if(n==0)//到达第一个元素后进行返回
return;
f3(a,n-1);
int x=a[n];///准备插入的值
int index=n-1;
while(index>=0&&a[index]>x)//数组的下标必须大于等于0，且该值小于上一个值时循环
{
a[index+1]=a[index];//当前位置给上一个较大的值
index--; //于上上个值作比较
}
a[index+1]=x; //插入上一个值位置
}
（2.6）节： 汉诺塔游戏
1、题干：把一堆从大到小排列好的数移动到目标位置上，有一个辅助位置，一次移动一个数，大的在下面。
2、答题思路：通过对三个位置调配为参数，实时分析哪个为目的哪个为辅助
3、关键代码：
#include<string.h>
void f5(int n, string f, string to, string help)
{ if(n==1)
cout<<n<<" from "<<f<<" to "<<to<<endl;
else
{ f5(n-1,f,help,to); ///把前n-1个盘子放在辅助位置上
cout<<n<<" hfrom "<<f<<" to "<<to<<endl;
f5(n-1,help,to,f); ///把前n-1个盘子回到原空间上
}
}
（2.7）节： 二分查找
1、题干：在数组中用二分查找元素
2、答题思路：通过对数组不断折半查找，与中间值比较大小后，选择相应的数组区间
3、关键代码：
int f6 (int a[], int lower ,int hight , int key)
{
if(lower>hight)
return -1;
int mid=lower+(()lower+hight)>>1);
if(mid>key)
f6(a[],lower,mid-1,key);
else if(mid<key)
f6(a[],mid+1,hight,key);
else
return mid;
}
（2.8）节： 希尔排序
1、题干：希尔排序
2、解答思路：一趟一个增量，用增量进行分组，组内进行插入排序
3、关键代码：
void f6(int a[],int n)
{
for(int mid=n/2;mid>0;mid/=2) //mid表示增量的大小，每一次整除与2
for(int i=mid;i<n;i++)//分组
{
int x=a[i];
int j=i-mid;
while(j>=0&&x<a[j]) //对组内元素进行插入排序
{a[j+mid]=a[j];
j-=mid;
}
a[j+mid]=x;
}
}
（2.9）节： 大O表示法
略：时间复杂度
（2.10）节： 常见函数的时间复杂度
略：
（2.11）节：顺序查找与二分查找性能分析
略：
（2.12）节：大O的应用 基础排序法的性能分析
略：
（2.13）节：三种典型递归方式算法性能分析
1、斐波那契递归与汉诺塔算法相似：O(n)=2^n
2、最大公约数算法：O(n)=2lg n，每两次取半
（2.14）节：希尔排序性能分析
1.性能在O(n^2)与O(nlog2n)之间，根据实际而定，没有具体的表示方法。
（2.15）节：排序算法的稳定性
略
（2.16）节：小白上楼梯
1、题干：
2、解答思路：找出规律，从后面开始推，只有一个台阶时为1，两个台阶时为2，3个台阶时，可以一步跳上去，也可以到达2或1后再上去，以此类推f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)
3、关键代码：
int f(int n)
{
if(n==1)
return 1;
if(n==2)
return 2;
if(n==3)
return 4;
return f(n-1)+f(n-2)+f(n-3);
}
（2.17）节：旋转数组的最小数字
1、题干
2、解题思路：题目关键在于原数组为递增有序，所以旋转后两边一边是有序一边是无序的，如果mid>begin,则左边有序。然后对无序一边进行不断比较
3、关键代码：
int f(int a[],int n)
{
int begin=0;
int end=n-1;
while(begin+1<end)//剩余2个数时停止比较
{
int mid=begin+((end-begin)>>1);
if(a[begin]<a[mid])///左边有序
begin=mid;
else end=mid;
}
if(a[begin]>a[end])////比较最后两个数的大小
return a[end];
return a[begin];
}
（2.18）节：在有空字符的中对有序字符串数组查找
1、题干：
2、解答思路：利用二分查找，对指定字符串进行比较选择相应的区间
（2.19）节：求最长递增子序列
1、题干
2、解答思路：通过比较大小，记录连续递增的数量，并记下最长的长度以及最后的数组下标。
3、关键代码：
void dd(int a[],int n)
{int x=0,end;
for(int begin=0;begin<=n;begin++)//比较怎个数组
{
int re=0;
while(begin<n&&a[begin]<=a[begin+1])// 统计数量
{begin++;re++;}
if(re>x)//记录递增数量以及最后位置
{x=re;
end=begin;}
}
for(int i=end-x;i<=end;i++)//打印
cout<<a[i]<<" ";
}
（2.20）节：求a的n次幂
1、题干：
2、解答思路：传统的方法是通过循环n次，将a进行累乘这样的时间复杂度为O(n)；我们可以使用递归的方式进行优化
3、关键代码：
int f20(int a,int n)
{int re=1;
int x=a;
if(n==0)
return 1;
while((re<<1)<=n)
{x*=x;//翻倍增长
re<<=1;
}
return x*f20(a,n-re) ;
}
