【序列分段】【区间dp】[UVA12991] Game Rooms

【序列分段】【区间dp】[UVA12991] Game Rooms

一个 $N$ 层的大楼，每层只有一个游戏室，可以设置一个乒乓球桌或游泳池。第 $i$ 层有 $T_i$ 个人喜欢乒乓球和 $P_i$ 个人喜欢游泳。

现在要求使每个人到最近的喜欢的类型的活动室的距离的和最小，且这栋大楼要有至少一个乒乓球桌和至少一个游泳池。

思路

考虑到要不乒乓球桌，要不游泳池。所以只有$0/1$两种情况（很明显不建白不建）

那么我们一整座大楼，从下往上（从第一层开始）就可以表示成一段$01$串。这些$01$串有连续的，有单独的。

那么我们也可以把单独的看成长度是$1$的连续串。

于是乎我们$dp_{i,tpe\in\{0,1\}}$表示强制$i$建$tpe$。那么以$i$结尾一定会有一个连续都是$tpe$的串。我们找到这个$tpe$的极大连续后缀，假设为$[k,i]$，那么很明显首先$k\neq1$，否则另一种就没地方建了。

然后因为$[k,i]$是极大联通子串，因此$k-1$和$i+1$一定是$tpe\oplus 1$,那么我们就可以从$dp_{k-1,tpe\oplus1}$转移过来。

同时$[k,i]$全部为$tpe$的代价我们也是可以知道的，假设为$cst(k,i,tpe)$

由于我们的状态转移已经用去$O(n^2)$了，因此我们的$cst$只能在$O(1)$内求出。

因为$[k,i]$全部是$tpe$，所以$pep_{tpe,[k,i]}$(people)是不需要考虑的了。同时因为懒惰所以$mid=(k+i)/2$以上的$pep_{tpe\oplus1}$都去$i+1$，以下的都去$k-1$，因此我们也可以得出$cst$的表达式

$$cst(k,i,tpe)= \sum_{j=k}^i pep_{tpe\oplus 1,j}\times \begin{cases} (j-k+1)&j\leq mid\\ (i+1-j)&j>mid \end{cases}$$

先考虑$j\leq mid$这一段，他像是一个阶梯式累加的结果$1a_1+2a_2+3a_3+\dots$不同的就是他不是从$1$开始的，他是$1a_k+2a_{k+1}+3a_{k+2}+\dots$，那么我们可以定义前缀和$b_i=\sum_{j=1}^ia_i,c_i=\sum_{j=1}^ii\cdot a_i$那么就有

$$1a_k+2a_{k+1}+3a_{k+2}+\ldots+(i-k+1)a_{i}\\=1a_1+2a_2+\ldots -(1a_1+2a_2+\ldots +(k-1)a_{k-1})-(k-1)(a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+\ldots)\\ =c_i-c_{k-1}-(k-1)(b_i-b_{k-1})$$

然后代入$i=mid$就可以求出这半段的花费$c_{mid}-c_{k-1}-(k-1)(b_{mid}-b_{k-1})$。

至于后半段，他是一个逆着的，所以我们可以定义$d_i=\sum_{j=1}^ib_i=\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^ja_k=\sum_{j=1}^i(i-j+1)a_j$，这样这个阶梯就是逆着的了。具体推一下

$$(i-k+1)a_k+\ldots+2a_{i-1}+1a_i\\ =ia_1+(i-1)a_2+\ldots+1a_i-(ia_1+(i-1)a_2+\ldots+(i-k+2)a_{k-1})\\ =d_i-\bigg[(i-k+2)a_1+(k-2)a_1+(i-k+2)a_2+(k-3)a_2+\ldots+(i-k+2)a_{k-1}\bigg]\\ =d_i-(i-k+2)(a_1+a_2+\ldots+a_{k-1})-\bigg[(k-2)a_1+(k-3)a_2+\ldots+1a_{k-2}\bigg]\\ =d_i-(i-k+2)b_{k-1}-d_{k-2}$$

然后代入$k=mid+1$，可以得到后半段为$d_i-(i-mid+1)b_{mid}-d_{mid-1}$。

总结一下，

$$dp_{i,tpe}=\min_{k=2}^{i-1}\{dp_{k-1,tpe\oplus1}+cst(k,i,tpe)\}\quad(i>2) \\ dp_{2,0}=pep_{0,1}+pep_{1,2},\quad dp_{2,1}=pep_{0,2}+pep_{1,1} \\ cst(k,i,tpe\oplus 1)=\bigg[c_{tpe,i}-c_{tpe,k-1}-(k-1)(b_{tpe,mid}-b_{tpe,k-1})\bigg]+\bigg[d_{tpe,i}-(i-k+2)b_{tpe,mid}-d_{tpe,mid-1}\bigg]$$

注意要开long long，以及特判$i=n,k=1$两种情况，这两种情况并不能向两边走，只能朝某一头走。

代码中把游戏室的类型放在第一维了。

View Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N=4096;
using std::min;
long long int pep[2][N],b[2][N],c[2][N],d[2][N];
long long int dp[2][N];
int T,n;
inline void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for(register int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld%lld",&pep[0][i],&pep[1][i]);
    memset(dp,0x6f,sizeof(dp));
    for(register long long int i=1;i<=n;++i) b[0][i]=b[0][i-1]+pep[0][i], b[1][i]=b[1][i-1]+pep[1][i];
    for(register long long int i=1;i<=n;++i) c[0][i]=c[0][i-1]+pep[0][i]*i, c[1][i]=c[1][i-1]+pep[1][i]*i;
    for(register long long int i=1;i<=n;++i) d[0][i]=d[0][i-1]+b[0][i], d[1][i]=d[1][i-1]+b[1][i];
    dp[0][0]=dp[1][0]=0;
}
inline long long int cst(int k,int i,int tpe)
{
    tpe^=1;
    if(k==i) return pep[tpe][k];
    if(i==n) return c[tpe][i]-c[tpe][k-1]-(k-1)*(b[tpe][i]-b[tpe][k-1]);
    if(k==1) return d[tpe][i];
    static long long int res=0;
    int mid=(i+k)>>1;
    res=c[tpe][mid]-c[tpe][k-1]-(k-1)*(b[tpe][mid]-b[tpe][k-1]);
    res+=(d[tpe][i]-(i-mid+1)*b[tpe][mid]-d[tpe][mid-1]);
    return res;
}
inline void solve()
{
    static int cases=0;
    init();
    printf("Case #%d: ",++cases);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(register int k=i==n?2:1;k<=i;++k)
        {
            dp[0][i]=min(dp[0][i],dp[1][k-1]+cst(k,i,0));
            dp[1][i]=min(dp[1][i],dp[0][k-1]+cst(k,i,1));
        }
    }
    printf("%lld\n",min(dp[0][n],dp[1][n]));
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}