TJ

A

合并的 LIS 可以看成一些区间和的 LIS。

考虑经典 LIS 的 DP 之一，\(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数，选择了 \(j\) 个，最后一个的最小值。

这个 DP 是可以沿用的，转移有两种。

\(f_{i-1,j}\)，即 \(i\) 不在 LIS 中。

\(\sum_\limits{x=k}^i a_x\)，若 \(\sum_\limits{x=k}^i a_x>f_{k-1,j-1}\)。该转移表示选 \(k\sim i\) 作为 LIS 最后一段的和。

把 \(\sum\) 拆成前缀和。

对于一个 \(f_{i,j}\)，其可以转移到的位置是一段后缀，可以二分这段后缀打标记，时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)。

二分可以用双指针代替，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

两者均可以通过。

B

观察到一个性质。如果一个数能被保留那么保留一定是更优的。

于是我们有一个贪心，初始假设我们所有数都选了。然后我们可以每次删掉一个当前不能保留的数。

如果将若 \(x\) 存在那么 \(y\) 可以存在看成有向边，每次我们即为找到一个入度为 \(0\) 的点，将其删掉。实际上就是一个拓扑排序。

遍历出边相当于遍历所有约数，时间复杂度 \(O(nd(n))\)。

可以实现一个 \(O(n)\) 预处理的分解质因数来实现枚举约数。

C

性质 \(1\)：若存在方案，则满足 \(\max(a)+\min(b)<0\)，\(\max(b)+\min(a)<0\)。

显然。

但由此我们可以得出，如果存在方案，则存在方案从 \((0,0)\) 走到 \((x,y)\) 走到 \((n,m)\)，其中 \(x,y\) 分别是 \(a,b\) 中最小值的位置。任意其他方案可以这样调整得到一个合法方案。

于是我们把问题转化为了从 \((0,0)\) 走到 \((x,y)\)，其中第 \(x\) 行和第 \(y\) 列全部可达。

性质 \(2\)：所有拐弯只会在前缀最小值处进行。

上述讨论对于位置均成立，同样也是调整不优。

于是我们可以把问题进一步转化为前缀最值的位置，所有问题只与这些位置相关。

性质 \(3\)：对于两个维度，若当前能移动到下一个前缀最小值则移动。

因为是前缀最小值，所以移动之后值不会变大，一定是不劣的。

于是我们得到了最终的贪心：从两个方向开始，能走到下一个前缀最小值就走。用数据结构容易维护，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

D

先将 \(01\) 分别看成 \(-1\) 和 \(1\)。

核心性质：\(-1\)，\(1\) 序列的前缀和值是连续的。

即，如果前缀和的最小值为 \(l\)，最大值为 \(r\)，则所有在 \([l,r]\) 之间的前缀和都一定被取到过。

于是只用维护前缀和的最小值最大值，然后二分一下。

最后还有一个小问题，\(s_x=s_y\) 怎么满足？

以当前要求 \(s_y=-1\) 为例，我们可以找到第一个区间和为 \(k+1\) 的位置，再从这个位置开始找到下一个区间和为 \(-1\) 的位置，同样由于连续性这样是可以做到。

所有需要询问的东西可以数据结构上二分解决。