P3214 [HNOI2011] 卡农 (dp +排列计数 正难则反）

 

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题目大意：

给定两个数 $n,m$ ，在集合 $S=1,2...n$ 中选取 $m$ 个非空子集，使得子集不重复并且子集中的每个元素出现偶数次，求出满足上述条件的方案数。
假设 $a$ 为 $\{\{1,2\},\{2,3\}\}$，$b$ 为 $\{\{2,3\},\{1,2\}\}$，那么 $a$ 与 $b$ 为重复情况。（笔者定义这种情况为假相同）

题目分析：

• [$1$]：正难则反。我们分析题目中的条件，首先对于偶数次的情况来说还算好处理，对于重复的情况，我们是否能够方便快速的处理这种情况呢，对于笔者来说太难了，在笔者的知识范围内计数问题不是计数 $dp$ 就是组合数学，那么运用组合数学的知识需要去掉某个集合重复 $2,3,4...n$次的情况，所以我们不考虑，那么对于 $dp$ 来说，我们可以设计出 $d{p}_{i,j}$ 为前 $i$ 中子集取了 $j$ 个子集的方案数，而 $i$ 又太大了所以说放弃，我们来考虑用 总方案数 $-$ 不合法的方案数 (欢迎各位大佬指出错误)

• [$2$]:首先我们考虑，$S$ 的子集有多少种，根据二项式定理可知， $S$ 的子集有 $2^n-1$ 种。那么我们不考虑假相同的情况，因为这个可以再最后直接除 $m!$ 的阶乘来处理，在这种情况下总方案数为 $A_{2^n-1}^m$。

• [$3$]：我们在 $1$ 的基础上来考虑出现偶数次如何处理。对于一个选取 $i$ 个子集使子集中所有元素出现次数为偶数的情况，我们可以由选取 $i-1$ 个子集出现次数不固定的方案数来确定。因为对于选取 $i-1$ 个子集的时候，对于出现偶数次的元素在第 $i$ 个子集中一定不会出现，对于奇数次的元素在第 $i$ 个集合中一定会出现，那么第 $i$ 个集合就固定下来了，所以我们只需求出选取 $i-1$ 个子集的总方案数即可，为 $A_{2^n-1}^{i-1}$。

• [$4$]：我们定义 $f_i$ 为选取 $i$ 个子集的方案数。接下来我们来考虑非空的情况，若我们在第 $i$ 个子集选取了一个空集，那么这个空集对方案数不产生影响，故我们只需去掉 $f_{i-1}$ 即可。

• [$5$]：最后我们来处理子集重复的情况。若我们选的第 $i$ 个子集与前面某个子集 $j$ 重复，那么 $i$ 的取值有 $i-1$种，而去掉子集 $i,j$ 所能构成的合法方案数为 $f_{i,j}$，最后思考 $j$ 有多少种取值，我们一共有 $2^n-1$ 个子集，而前面用掉了 $i-2$ 个，故 $j$ 的选取有 $2^n-1-(i-2)$ 种。那么我可可得递推式 $f_i=A_{2^n-1}^{i-1}-f_{i-1}-(i-1)\ast (2^n-1-(i-2))\ast f_{i-2}$

代码实现：

我们只需要处理出 $2^n-1$ , $m!$, $A_{2^n-1}^i$即可，最后处理一下逆元，用 $f_m\ast \frac{1}{m!}$ 即可

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 1e8 + 7;
const int M = 1e6 + 7; 
int f[M] , A[M];
int Pow(int a, int b) {
	int ans = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;	
	}
	return ans;
}	
signed main () {
	int n , m; cin >> n >> m;
	int _2 = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) _2 = _2 * 2 % mod;
	_2 = (_2 + mod - 1) % mod;
	A[0] = 1;
	int jc = 1;
	for(int i = 1; i <= m; ++ i) A[i] = A[i - 1] * ((_2 - i + 1 + mod) % mod) % mod , jc = jc * i % mod;
	f[f[1] = 0] = 1;
	for(int i = 2; i <= m; ++ i) f[i] = (A[i - 1] - f[i - 1] + mod - f[i - 2] * (i - 1) % mod * (_2 - i + 2 + mod) % mod + mod) % mod;
	cout << f[m] * Pow(jc , mod - 2) % mod;
}

[========]

完结！