浅谈二分图

目录

• 什么是二分图？
• 性质
  • 二分图中不存在长度为奇数的环
• 怎么判定一个图是不是二分图呢？
• 二分图的应用

 

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二分图

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什么是二分图？

二分图又称二部图，是图论的一种特殊模型。
节点由两个集合组成，且两个集合内部没有边的图。

设$G = (U,V)$是一个无向图，如果顶点$U$可以分割为两个互不相交的子集$(A,B)$，并且图中的每条边$(i,j)$所关联的两个顶点$i$和$j$分别属于这两个不同的顶点集，则称图G为一个二分图。

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性质

如果两个集合中的点分别染成黑色和白色，可以发现二分图中的每一条边都一定是连接一个黑色点和一个白色点。

二分图中不存在长度为奇数的环

这是因为每一条边都是从一个集合走到另一个集合，要想回来必然要走偶数次

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怎么判定一个图是不是二分图呢？

按照定义来说，我们需要知道能否将图中的顶点分成两个满足条件的集合。

染色法：可以通过染色法判定二分图。如果可以通过两种颜色将图染色，使得相同集合中的顶点使用相同的颜色，则为二分图。

二分图的判定算法主要通过dfs和bfs遍历，如果发现奇数环则不是二分图。

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二分图的应用

• 二分图最大匹配
• 二分图最大权匹配
• 一般图最大匹配
• 一般图最大权匹配

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参考文献：OI Wiki二分图

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本文作者：Zhicheng
本文链接：https://www.cnblogs.com/L-zhicheng/p/16216319.html
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