浅谈01分数规划

什么是01分数规划？
有什么用？
怎么用？

01分数规划

什么是01分数规划？

分数规划用来求一个分式的极值。

给出 $a_i$ 和 $b_i$ ，求一组 $w_i$ ∈ {0，1}，最小化或最大化

\frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \times w_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} b_{i} \times w_{i}}

$\frac{\sum_{i=1}^n a_i \times w_i}{\sum_{i=1}^n b_i \times w_i}$

另一种描述：每种物品有两个权值 $a$ 和 $b$ ,选出若干个物品使得 $\frac{\sum a}{\sum b}$ 最大/最小。

在图论问题（求负环、最小生成树和最短路）中类似于 $\frac{\sum a}{\sum b}$ 这样形式的题，称为01分数规划

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有什么用？

做图论题会用到

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怎么用？

二分

例如观光奶牛这道题
判断图中是否存在环 $C$ ，使得 $\frac{\sum a}{\sum b} \gt mid$
$\frac{\sum a}{\sum b} \gt mid \Leftrightarrow \sum a \gt mid \times \sum b \Leftrightarrow \sum a - mid \times \sum b \gt 0$
所以公式可以转换为: $\sum(a_i - mid \times b_i) \gt 0) \Leftrightarrow 图中是否存在正环$

01分数规划思路

1. 二分出一个常值
2. 整理不等式，重新定义点权/边权
3. 做图论算法

参考文献：
OI Wiki分数规划

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本文作者：Zhicheng
本文链接：https://www.cnblogs.com/L-zhicheng/p/16211131.html
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