红黑树

来自学习小组活动，整理下三锅的ppt，作为自己的学习笔记。

 

红黑树定义：

　　红黑树是一种二叉查找树，但是在每个节点上增加了一个存储位表示节点的颜色（红或黑）。

　　红黑树的一个概念：黑高度（bh）

红黑树性质：

1）每个结点要么是红的，要么是黑的。

2）根结点是黑的。

3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。

4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。

5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

 

红黑树的插入：

•红黑树是二叉查找树，所以插入的基本步骤和二叉查找树的基本步骤一致。

•因为红黑树中每个节点有颜色限制，所以插入节点的颜色选择以及插入可能会影响红黑树的性质。

•红或黑？

•任何一个即将插入的新结点的初始颜色都为红色。这一点很容易理解，因为插入黑点会增加某条路径上黑结点的数目，从而导致整棵树黑高度的不平衡。

•新点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入操作完成。

•如果新结点父结点为红色时，将会违返红黑树性质：一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。这时就需要通过一系列操作来使红黑树保持平衡。由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的操作。

•当叔父结点为红色时，无需进行旋转操作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上进行平衡操作。

•当叔父结点为黑色时，需要进行旋转。

 

红黑树删除：

•删除一个节点，在不考虑红黑颜色的情况下，同二叉搜索树的删除操作类似（查找前驱或者后继）。最终我们会定位到最终要物理删除的那个节点上，这个节点x必然是叶子节点或者只有一个孩子的内节点。

•现在我们需要考虑的问题就是这个节点x是红色还是黑色的问题

1. 如果x节点的颜色是红色，直接删除，对我们的黑高度没有影响
   1. 
2. 如果x节点是黑色，必然会导致该节点的红黑树的一支出现黑高度不一致的情况，这个时候，必须想办法在红黑树中找到一个红色节点，将其改变为黑色，以弥补这一缺陷（以下用旧节点来表示需要物理删除的节点，新节点表示物理删除后向上补齐的子节点）。

　　　　2.1当旧点为黑色结点，新点为红色结点时，将新点取代旧点位置后，将新点染成黑色即可。

 

2.2.当旧点和新点都为黑色时（新点为空结点时，亦属于这种情况），情况比较复杂，需要根据旧点兄弟结点的颜色来决定进行什么样的操作。我们使用“兄”来表示旧点的兄弟结点。

　　2.2.1）黑兄的情况最为复杂，需要根据黑兄孩子结点（这里用“侄”表示）和父亲结点的颜色来决定做什么样的操作。

　　　　2.2.1.1黑兄二黑侄红父

　　　　这种情况比较简单，只需将父结点变为黑色，兄结点变为黑色，新结点变为黑色即可，删除操作到此结束。

2.2.1.2黑兄二黑侄黑父

此时将父结点染成新结点的颜色(考虑到所有红色的情况已经解决，此时新节点只能是黑色)，新结点染成黑色，兄结点染成红色即可。当新结点为红色时，父结点被染成红色，此时需要以父结点为判定点继续向上进行平衡操作。

2.2.1.3黑兄红侄

此时需要用到二叉平衡树的左旋右旋操作了

 

 

2.2.2红兄

红兄的情况需要进行旋转，然后将父结点染成红色，兄结点染成黑色。我们可以观察到，旋转操作完成后，判定点没有向上回溯，而是降低了一层，此时变成了黑兄的情况。