约瑟夫环问题

问题描述：

n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求最终胜利者的编号。

 

问题解答：

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
　　k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
　　并且从k开始报0。
　　现在我们把他们的编号做一下转换：
　　k --> 0
　　k+1 --> 1
　　k+2 --> 2
　　...
　　...
　　k-3 --> n-3
　　k-2 --> n-2
　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
    令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]递推公式
    f[1]=0;
　　f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

 

    其实，这个递推式，ccy纠结了n久，还是以（7，3）为例。

    0 1 2 3 4 5 6

    3 4 5 6 0 1

    6 0 1 3 4         ...

    3 4 6 0           f[4]=(1+3)%4=0

    0 3 4             f[3]=(1+3)%3=1

    0 3               f[2]=(0+3)%2=1

    3                 f[1]=0

    从上往下看，出队后，每个数向前移动m位，即-m，所以，反推时是+m。

注：答题思路来自一同学提供的资料，不知出处

 

程序实现：

  #include <iostream>
  using namespace std;

  int joseph(int n, int m)
  {
      if (n == 1)
      {
          return 0;
      }
      return (joseph(n - 1, m) + m) % n;
  }

  int main(int argc, char** argv)
  {
      int n, m;
      cin >> n >> m;
      cout << "joseph(" << n << ", " << m << ") = " << joseph(n, m) << endl;
      return 0;
  }