最大公约数
- 问题：
写一个程序，求两个正整数的最大公约数。如果这两个整数都很大，有什么简单的算法吗？
- 思路：
求最大公约数是一个很基本的问题，早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。
辗转相除法的原理很简单，设两数为a、b(a>b），b最大公约数(a，b）的步骤如下：用b除a，得a=bq......r1(0≤r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b=r1q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为（a，b）的最大公约数。
原理及其详细证明（来自百度百科http://baike.baidu.com/view/255668.htm）
设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。
第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
- 程序解法
- 解法一
最简单的递归解法，具体代码如下：
int gcd(int x, int y)
{
return (!y) ? x : gcd (y, x%y);
}
- 解法二
在解法一中，我们用到了取模运算，但对于大整数而言，取模运算（其中用到了除法）是非常昂贵的开销，有没有办法能够不用取模运算呢？
采用类似前面辗转相除法的分析，如果一个数能够同时整除x和y，则必能整除x-y和y；反之亦然。即x和y的公约数与x-y和y的公约数是相同的，即gcd(x, y) = gcd(x - y, y)，那么可转换成简单的多的大整数的减法。
具体代码：
long gcd(long x, long y)
{
if (x < y)
{
return gcd(y, x);
}
if (y == 0)
{
return x;
}
return gcd(x - y, y);
}
- 解法三
解法二的问题在于迭代次数太多，在遇到（10000000， 1）的情况就很悲催了。
从分析公约数的特点入手：对于y和x来说，如果y = k*y1， x = k * x1.那么有gcd(y, x) = k * gcd(y1, x1).
另外，如果 x = p * x1, 假设p是素数，并且y%p != 0(即y不能被p整除），那么gcd(x, y) = gcd(p * x1, y) = gcd(x1, y).
注意到这一点，我们取p = 2，并且将除以2的操作转换为右移一位，即得到以下代码：
1 long gcd(long x, long y)
2 {
3 if (x < y)
4 {
5 return gcd(y, x);
6 }
7 if (y == 0)
8 {
9 return x;
10 }
11 if (IsEven(x)) //判断x是否为偶数
12 {
13 if (IsEven(y))
14 {
15 return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
16 }
17 else
18 {
19 return (gcd(x >> 1, y);
20 }
21 }
22 else
23 {
24 if (IsEven(y))
25 {
26 return gcd(x, y >> 1);
27 }
28 else
29 {
30 return gcd(x, x -y);
31 }
32 }
33 }
