bzoj1485: [HNOI2009]有趣的数列(Catalan数)

1485: [HNOI2009]有趣的数列

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Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

 

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

 

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

 

Sample Input

3 10

Sample Output

5


对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

HINT

 

Source

 

/*
可以把形成序列的过程看成加数的过程，从小到大逐步加（这显然满足限制一），
然后加数的条件一是从小到大依次放奇数位或偶数位，因此也满足限制二，
然后无论何时偶数位上的数一定要大于等于奇数位上的数，这样也满足了限制三，
那么问题就转化成了按照如上条件放数的方案数，联系第二个条件，
也就是无论何时偶数位上的数一定要大于等于奇数位上的数，可以联想到栈，进栈次数一定要大于等于出栈次数，
不妨把放在偶数位上看成进栈，放在奇数位上看成出栈，这样就是求一个出栈的序列，也就是Catalan数列。
由于模数不一定是质数，可以分解质因数求。 
*/
#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long
#define N 2000007

using namespace std;
int n,mod,cnt;
ll pri[N],min_pri[N],num[N],ans=1;
bool use[N];

void getpri()
{
    for (int i=2; i<=2*n; i++)
    {
        if (!use[i]) pri[++cnt]=i,min_pri[i]=cnt;
        for (int j=1; pri[j]*i<=2*n&&j<=cnt; j++)
        {
            use[pri[j]*i]=1,min_pri[pri[j]*i]=j;
            if (i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}

ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        b>>=1;a=a*a%mod;
    }return res;
}

void add(int x,int opt)
{
    while (x!=1)
    {
        num[min_pri[x]]+=opt;
        x/=pri[min_pri[x]];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    getpri();
    for (int i=2*n; i>n; i--) add(i,1);
    for (int i=1; i<=n+1; i++) add(i,-1);
    for (int i=1; i<=cnt; i++) ans=ans*ksm(pri[i],num[i])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}