1856: [Scoi2010]字符串(Catalan数)
1856: [Scoi2010]字符串
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Description
lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
Input
输入数据是一行,包括2个数字n和m
Output
输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数
Sample Input
2 2
Sample Output
2
HINT
【数据范围】
对于30%的数据,保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据,保证1<=m<=n<=1000000
Source
/* LuoguAC,bzoj总是CE我也很绝望啊 Catelan数。 等价于画一个坐标系从(0,0)到n-m且不越过y=-1(即1的个数>=0)这条线的方案数。 把y=n-m关于y=-1对称。则每一个不合法的解都对应一条从(0,0)到y=m-n-2的路径(画图可知) 答案就是总方案数减去不合法的路径条数。 考虑放x个1,则有 x-(n+m-x)=m-n-2 (到达y=m-n-2) 解得x=m-1。 不合法的路径条数就是C(m+n,m-1) */ #include<bits/stdc++.h> #define N 2000002 #define M 20100403 #define ll long long using namespace std; ll n,m,ans; ll inv[N]={1,1},fac[N]={1,1},f[N]={1,1}; int ll C(ll a,ll b) { return ((fac[a]*inv[b])%M*inv[a-b]%M)%M; } inline void init() { fac[1]=1; for(int i=2;i<=n+m+1;i++) { fac[i]=(fac[i-1]%M*i)%M; f[i]=((M-M/i)*f[M%i])%M; inv[i]=(inv[i-1]*f[i])%M; } } int main() { cin>>n>>m; init(); ans=(C(n+m,n)%M-C(m+n,m-1)%M+M)%M; cout<<ans<<endl; return 0; }
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define mod 20100403 #define ll long long using namespace std; ll n,m; ll mul[2000005],inv[2000005]; ll c(ll x,ll y) { return (((mul[x]*inv[x-y])%mod)*inv[y])%mod; } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&m); mul[0]=mul[1]=inv[0]=inv[1]=1; ll tot=m+n; for(ll i=2;i<=tot;i++)mul[i]=mul[i-1]*i%mod; for(ll i=2;i<=tot;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; for(ll i=2;i<=tot;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod; ll ans=((c(tot,n)-c(tot,n+1))%mod+mod)%mod; printf("%lld\n",ans); return 0; }
折花枝,恨花枝,准拟花开人共卮,开时人去时。
怕相思,已相思,轮到相思没处辞,眉间露一丝。