bzoj4720: [Noip2016]换教室(期望dp)

4720: [Noip2016]换教室

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Description

对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节

课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先

被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完

成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个

时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛

发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率

是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。

这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申

请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因

为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在

的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,

通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一

条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体

力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。

Input

第一行四个整数n,m,v,e。n表示这个学期内的时间段的数量;m表示牛牛最多可以申请更换多少节课程的教室;

v表示牛牛学校里教室的数量;e表示牛牛的学校里道路的数量。

第二行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示c,,即第i个时间段牛牛被安排上课的教室;保证1≤ci≤v。

第三行n个正整数,第i(1≤i≤n)个正整数表示di,即第i个时间段另一间上同样课程的教室;保证1≤di≤v。

第四行n个实数,第i(1≤i≤n)个实数表示ki,即牛牛申请在第i个时间段更换教室获得通过的概率。保证0≤ki≤1。

接下来e行,每行三个正整数aj,bj,wj,表示有一条双向道路连接教室aj,bj,通过这条道路需要耗费的体力值是Wj;

保证1≤aj,bj≤v,1≤wj≤100。

保证1≤n≤2000,0≤m≤2000,1≤v≤300,0≤e≤90000。

保证通过学校里的道路,从任何一间教室出发,都能到达其他所有的教室。

保证输入的实数最多包含3位小数。

 

Output

输出一行,包含一个实数,四舎五入精确到小数点后恰好2位,表示答案。你的

输出必须和标准输出完全一样才算正确。

测试数据保证四舎五入后的答案和准确答案的差的绝对值不大于4*10^-3。(如果你不知道什么是浮点误差,这段话

可以理解为:对于大多数的算法,你可以正常地使用浮点数类型而不用对它进行特殊的处理)

 

Sample Input

3 2 3 3
2 1 2
1 2 1
0.8 0.2 0.5
1 2 5
1 3 3
2 3 1

Sample Output

2.80

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define M 2010
#define N 310

using namespace std;
int n,m,v,e,a[M],b[M],dis[N][N];
int vis[M],ok[M];
double p[M],cur,ans=100000000.0;

void floyed()
{
    for(int k=1; k<=v; k++)
        for(int i=1; i<=v; i++)
            for(int j=1; j<=v; j++)
                if(i!=j&&i!=k&&j!=k)
                    dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}

double check2(double p_)
{
    int now;
    if(ok[1]==1) now=b[1];else now=a[1];
    int tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(ok[i]) 
        {
            if(now!=b[i]) 
            tot+=dis[now][b[i]];now=b[i];
        }
        else 
        {
            if(now!=a[i])
            tot+=dis[now][a[i]];now=a[i];
        }
    }
    return p_*double(tot);
}

void dfs2(int x,double p_)
{
    if(x==n+1) 
    {
        cur+=check2(p_);
        return;
    }
    if(!vis[x]) dfs2(x+1,p_);
    else
    {
        dfs2(x+1,p_*(1.0-p[x]));ok[x]=1;
        dfs2(x+1,p_*p[x]);ok[x]=0;
    }
}

void check()
{
    cur=0;dfs2(1,1.0);
    ans=min(ans,cur);
}

void dfs1(int x,int t)
{
    if(t==m+1) return;
    if(x==n+1)
    {
        check();
        return;
    }
    dfs1(x+1,t);vis[x]=1;dfs1(x+1,t+1);vis[x]=0;
}

int main()
{
    memset(dis,127/3,sizeof(dis));
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&e);
    for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%lf",&p[i]);
    for(int i=1; i<=e; i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if(x==y)continue;
        dis[x][y]=min(dis[x][y],z);
        dis[y][x]=min(dis[y][x],z);
    }
    floyed();
    if(m==0) printf("%.2lf\n",check2(1.0));
    else
    {
        dfs1(1,0);
        printf("%.2lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

 

/*
floyd预处理最短路
很裸的期望dp。
f[i][j][0/1]表示前i个申请中申请了j个当前申请或不申请的期望。 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 2001
#define M 301

using namespace std;
int n,m,x,y,v,e,z,lim,cnt;
double f[N][N][2],g[N][N][2],c[N],ans;
int dis[M][M],a[N],b[N];

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

void init()
{
    for(int i=0;i<=v;i++)for(int j=0;j<=v;j++)
      if (i==j)dis[i][j]=0;
      else dis[i][j]=1e9;
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<N;j++)
            f[i][j][0]=f[i][j][1]=1e9;
    f[1][0][0]=0;f[1][1][1]=0;
    
}

void floyd()
{
    for (int k=1; k<=v; k++)
        for (int i=1; i<=v; i++)
            for (int j=1; j<=v; j++)
                if (dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
}

int main()
{
    n=read();m=read();v=read();e=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&c[i]);
    init();
    for(int i=1;i<=e;i++)
    {
        x=read();y=read();z=read();
        if (x==y) continue;
        if (z<dis[x][y])dis[x][y]=z;
        dis[y][x]=dis[x][y]; 
    }
    floyd();

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        lim=min(i,m);f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+dis[a[i-1]][a[i]];
        for(int j=1;j<=lim;j++)
        {
            f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+dis[a[i-1]][a[i]],f[i-1][j][1]+dis[a[i-1]][a[i]]*(1.0-c[i-1])+dis[b[i-1]][a[i]]*c[i-1]);                                                     
            //这个点不换 上个点换或不换，换的话成功或失败。 
            if(j>=1)
            {
                f[i][j][1]=                                               //这个点换的方程
                min(f[i-1][j-1][0]+dis[a[i-1]][b[i]]*c[i]+   //上一个点不换，这个点成功
                dis[a[i-1]][a[i]]*(1.0-c[i]),                          //上一个点不换，这个点失败
                f[i-1][j-1][1]+dis[b[i-1]][b[i]]*c[i-1]*c[i]+//上一个点成功，这个点成功
                dis[b[i-1]][a[i]]*c[i-1]*(1.0-c[i])+               //上一个点成功，这个点失败
                dis[a[i-1]][b[i]]*(1.0-c[i-1])*c[i]+               //上一个点失败，这个点成功
                dis[a[i-1]][a[i]]*(1.0-c[i-1])*(1.0-c[i]));       //上一个点失败，这个点失败
            }
        }
    }
    ans=f[n][0][0];
    for(int i=1;i<=m;i++) 
      ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
    printf("%.2lf\n",ans);
    return 0;
}