斯特林数
第一类Stirling数 s(p,k)
s(p,k)的一个的组合学解释是:将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。
s(p,k)的递推公式: s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1
边界条件:s(p,0)=0 ,p>=1 s(p,p)=1 ,p>=0
递推关系的说明:
考虑第p个物品,p可以单独构成一个非空循环排列,这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列,方法数为s(p-1,k-1);
也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列,而第p个物品插入第i个物品的左边,这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。
第二类Stirling数 S(p,k)
S(p,k)的一个组合学解释是:将p个物体划分成k个非空的不可辨别的(可以理解为盒子没有编号)集合的方法数。
k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如:被标有房号)的房间(无空房)的方法数。
S(p,k)的递推公式是:S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1
边界条件:S(p,p)=1 ,p>=0 S(p,0)=0 ,p>=1
递推关系的说明:
考虑第p个物品,p可以单独构成一个非空集合,此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合,方法数为S(p-1,k-1);
也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合,第p个物品放入任意一个中,这样有k*S(p-1,k)种方法。
第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件,但递推关系不同。
题意:给N个元素,让我们求K个环排列的方法数。
斯特林第一类数的第推公式:
S(N,0)=0; S(N,N)=1; S(0,0)=0; S(N,K)=S(N-1,K-1)+S(N-1,K)*(N-1);
这个公式的意思是:当前N-1个数构成K-1 个环的时候,加入第N个 ,N只能构成单环!—S(N-1,K-1)如果N-1个数构
成K个环的时候,加入第N个,N可以任意加入,N-1内的一个环里,所以(N-1)*S(N-1,K)这个题目里,因为不能破坏
第1个门:所以 S(N,K)-S(N-1,K-1)才是能算构成K个环的方法数!就是去掉1自己成环的情况 。
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#include<stdio.h> #include<string.h> #define N 21 __int64 fac[N]={1,1}; __int64 stir[N][N]; void init() { int i, j; for(i=2;i<N;i++) fac[i]=i*fac[i-1]; memset(stir,0,sizeof(stir)); stir[0][0]=0; stir[1][1]=1; for(i=2;i<N;i++) for(j=1;j<=i;j++) stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j]; } int main() { init(); int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n, k, i; scanf("%d %d",&n,&k); __int64 cnt=0; for(i=1;i<=k;i++) cnt+= stir[n][i] - stir[n-1][i-1];//注意:去掉1自己成环的 printf("%.4lf\n",1.0*cnt/fac[n]); } return 0; }