bzoj1705[Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线(dp优化)

1705: [Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线

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Description

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务 于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。 新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上， 第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。 电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端 如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆， 只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为 加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。 更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。 请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：N和C

* 第2..N+1行: 第i+1行仅有一个整数：height_i

Output

* 第1行: 输出Farmer John完成电话线改造工程所需要的最小花费

Sample Input

5 2
2
3
5
1
4
输入说明:
一共有5根电话线杆，在杆间拉电话线的费用是每米高度差$2。
在改造之前，电话线杆的高度依次为2，3，5，1，4米。

Sample Output

15
输出说明:
最好的改造方法是：Farmer John把第一根电话线杆加高1米，把第四根加高2米，
使得它们的高度依次为3，3，5，3，4米。这样花在加高电线杆上的钱是$5。
此时，拉电话线的费用为$2*(0+2+2+1) = $10，总花费为$15。

 

/*
f[i][j] = min(f[i-1][k]+|j-k|*c+(a[i]-j)*(a[i]-j))
摘出与k无关项得
f[i][j] = min(f[i-1][k]+|j-k|*c) + (a[i]-j)*(a[i]-j)
记P = min(f[i-1][k]+|j-k|*c) , Q = (a[i]-j)*(a[i]-j)
则f[i][j] = P + Q
P = min(A,B),其中
A = min(f[i-1][k]+(j-k)*c) (k<=j)
B = min(f[i-1][k]+(k-j)*c) (k>j)
A = min(f[i-1][k]-k*c) + j*c
B = min(f[i-1][k]+k*c) - j*c
记C[X][i] = min(f[X][k] - k*c)  k∈[1,i]
记D[X][i] = min(f[X][k] + k*c)  k∈[i,n]
则A = C[i-1][j] + j*c
则B = D[i-1][j+1] - j*c
显然C、D在任何时刻只需保存X=i-1一行的值
注意高度只能增高，所以h[i]∈[a[i],100]
利用辅助数组优化后，时间复杂度降为O(N*100)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define N 100010
#define H 110
#define inf 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int n,c,h,P,Q,A,B;
int a[N],C[H],D[H],f[N][H];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    h=a[1];
    for(int i=1;i<=n;i++) h=max(h,a[i]);
    h=min(h,100);
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i==1) 
          for(int j=a[i];j<=h;j++)
            f[1][j]=(j-a[1])*(j-a[1]);
        else
        {
            for(int j=a[i];j<=h;j++)
            {
                Q=(j-a[i])*(j-a[i]);
                A=C[j]+j*c;
                B=D[j+1]-j*c;
                P=min(A,B);
                f[i][j]=P+Q;
            }
        }
        C[0]=D[h+1]=inf;
        for(int j=1;j<=h;j++) C[j]=min(C[j-1],f[i][j]-j*c);
        for(int j=h;j>=1;j--) D[j]=min(D[j+1],f[i][j]+j*c);
    }
    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=h;i++) ans=min(ans,f[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
    return 0;
    return 0;
}